Réponse :

f(x) = - x² - 4 x + 7

1) prouver que f(x) = - (x + 2)² + 11 pour tout réel x

f(x) = - x² - 4 x + 7  peut s'écrire sous la forme canonique

f(x) = a(x - α)² + β

a = - 1

α = - b/2a = 4/- 2 = - 2

β = f(α) = f(-2) = - (-2)² - 4(-2) + 7

                      = - 4 + 8 + 7 = 11

β = 11

donc f(x) = a(x -α) + β

               = - (x -(- 2))² + 11

               = - (x + 2)² + 11

Donc on a bien f(x) = - (x+2)² + 11

2) résoudre algébriquement f(x) = 7  et f(x) = 12

pour f(x) = 7 ; on utilise l'expression développée de f(x)

f(x) = - x² - 4 x + 7 = 7 ⇔ - x² - 4 x = 0 ⇔ x(- x - 4) ⇒ x = 0  ou - x - 4 = 0

⇒ x = - 4

pour f(x) = 12 ; on utilise la forme développée de f(x)

  f(x) = - x² - 4 x + 7 = 12

        = - x² - 4 x - 5 = 0 ⇔ -(x² + 4 x + 5) = 0

Δ = 16 - 20 = - 4 < 0  pas de solutions dans R

3) décrire les variations de f. Les démontrer

f(x) = - (x + 2)² + 11

le sommet de la parabole a pour coordonnées  S(- 2 ; 11)

entre l'intervalle ]- ∞ ; - 2] ⇒ la fonction f est croissante

entre [- 2 ; + ∞[ ⇒ la fonction est décroissante

x       - ∞                    - 2                     + ∞

f(x)    - ∞ →→→→→→→→→ 11 →→→→→→→→→ - ∞

               croissante         décroissante    

Explications étape par étape