Bonjour,

1) Volume = 3 × x × h ⇒ On remplace V par 18 on a donc  :

⇔ 18 = 3 × x × h

⇔ 6 = x × h

⇔ h = 6/x

2) Aire de chacune des faces haut et bas : 3x

Aire de chacune des faces (les plus grandes sur le côté) : 3h = 18/x

Aire de chacune des faces restantes : x× h = 6x/x = 6

Aire totale = S(x) =  2(3x + 6 + 18/x) = 6x = 12 + 36/x

3) On applique la formule du cours : f'(1/x) = -1/x²

On a donc S'(x) = 6 - 36/x² = (6x² - 36)/x²

4) On étudie le signe de la dérivée :

On sait déjà que x² ≥ 0

On pose 6x² - 36 = 0 ⇔ 6x² = 36 ⇔ x² = 6 ⇔ x = ±√6

x      |1/2            √6            6

S'(x)|        -         0        +

S(x)|          ↓                  ↑

5) Valeur de x pour que l'aire soit minimale : √6

Valeur de h pour que l'aire soit minimale : 6/√6