Bonjour,

Réponse :

1) Simplifier les écritures suivantes :

[tex]{\sf A }=e^{1-2x}\times e^{x+1}[/tex]

[tex]{\sf A }=e^{1-2x+x+1}[/tex]

[tex]\boxed{{\sf A }=e^{-x+2} }[/tex]

[tex]\\[/tex]

[tex]{\sf B }=\dfrac{e^{x+1} \times \left(e^{x} \right)^{2} \times e}{e^{-4x +1} }[/tex]

[tex]{\sf B }=\dfrac{e^{x+1} \times e^{x\times 2} \times e}{e^{-4x +1} }[/tex]

[tex]{\sf B }=\dfrac{e^{x+1} \times e^{2x} \times e^{1} }{e^{-4x +1} }[/tex]

[tex]{\sf B }=\dfrac{e^{x+1+2x+1} }{e^{-4x +1} }[/tex]

[tex]{\sf B }=\dfrac{e^{3x+2} }{e^{-4x +1} }[/tex]

[tex]{\sf B }=e^{3x+2-(-4x +1)}[/tex]

[tex]{\sf B }=e^{3x+2+4x -1}[/tex]

[tex]\boxed{{\sf B }=e^{7x+1}}[/tex]

[tex]\\[/tex]

2) Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

[tex]f(x) = e^{4x+1}[/tex]

[tex]f'(x) = (4x+1)'e^{4x+1}[/tex]

[tex]\boxed{f'(x)= 4e^{4x+1}}[/tex]

[tex]\\[/tex]

[tex]g(x) = \dfrac{e^x}{x+1}[/tex]

[tex]g'(x) = \dfrac{(e^x)'\times (x+1) - e^x\times (x+1)'}{(x+1)^2}[/tex]

[tex]g'(x) = \dfrac{e^x(x+1) - e^x\times 1}{(x+1)^2}[/tex]

[tex]g'(x) = \dfrac{e^x(x+1-1) }{(x+1)^2}[/tex]

[tex]\boxed{g'(x) = \dfrac{xe^x }{(x+1)^2}}[/tex]

[tex]\\[/tex]

[tex]h(x) = x^{2} e^{3x}[/tex]

[tex]h'(x) = (x^{2})' e^{3x} + x^{2}( e^{3x} )'[/tex]

[tex]h'(x) = 2x e^{3x} + 3x^{2}e^{3x}[/tex]

[tex]\boxed{h'(x) = (3x^{2}+2x)e^{3x}}[/tex]

[tex]\\[/tex]

3) Résoudre l'équation et l'inéquation suivantes :

[tex]\textbf{a) } e^{x^{2} -2x-3} =1[/tex]

[tex]\iff e^{x^{2} -2x-3} =e^0[/tex]

[tex]\iff x^{2} -2x-3 =0[/tex]

[tex]\iff x^{2} +x-3x-3 =0[/tex]

[tex]\iff x(x+1)-3(x+1) =0[/tex]

[tex]\iff (x+1)(x-3) =0[/tex]

[tex]\iff x+1=0{\sf \:\:ou\:\:} x-3 =0[/tex]

[tex]\iff x=-1{\sf \:\:ou\:\:} x=3[/tex]

[tex]\boxed{S = \{-1;3\}}[/tex]

[tex]\\[/tex]

[tex]\textbf{b) } e^{3x-1} > e^{-x+2}[/tex]

[tex]\iff 3x-1 > -x+2[/tex]

[tex]\iff 3x+x > 2+1[/tex]

[tex]\iff 4x > 3[/tex]

[tex]\iff x > \dfrac{3}{4}[/tex]

[tex]\boxed{S = \left]\dfrac{3}{4} ;+\infty\right]}[/tex]

[tex]\\[/tex]

[tex]\\[/tex]

En espérant t'avoir aidé, bonne continuation ! ☺️