Réponse :

Vmaxi cône ≈ 0,4031 R³ avec angle â ≈ 66°

( on aura h ≈ 0,57735 R ; et r ≈ 0,8165 R )

Explications étape par étape :

■ bonsoir Tutur !

■ Pythagore dans le cône :

   R² = r² + h² donc r² = R² - h² .

■ 1°) Volume du cône :

   V(h) = (π/3) * (R² - h²)* h .

■ 2°) il faut bien 0 < h < R .

         Si h = zéro ou h = R,

         alors le Volume du cône est nul !

■ 3°) dérivée :

        V ' (h) = (πR²/3) - πh² .

■ 4°) cette dérivée est positive pour 3h² < R²

                                                               h² < (R/√3)²

                                                           0 < h < R/√3 .

        tableau :

         h -->   0                 R/√3                 R

    V ' (h) ->           +            0           -

      V(h) -->  0           2πR³/(9√3)           0

        remarque :Vmaxi cône ≈ 0,4031 R³ .

■ 5a) Périmètre Base cône :

        Pc = (2π-â) * R .

■ 5b) Périmètre Base cône :

        Pc = 2π * r = 2π * √(R² - h²) avec h² = R²/3

        donne Pc = 2π * √(2/3) * R .

■ 5c) recherche de l' angle â :

   on reprend les 2 expressions du Périmètre du cône

     ( voir ci-dessus ) :

         2πR - âR = 2π * √(2/3) * R

            on simplifie par R :

                     â = 2π * [ 1 - √(2/3) ]

                     â = (2π/3) * (3 - √6)

                     â ≈ 1,153 radian .

■ 5d) â ≈ 1,153 radian --> â ≈ 1,153 * 180° / π ≈ 66° .

■ vérif : â = 1,153 radian donne

   Périmètre = (2π-1,153) * R ≈ 5,13 * R

   donc r = 5,13 R / (2π) ≈ 0,8165 R

   donc Aire Base cône = π * (0,8165 R)² ≈ 2,0944 R²

   d' où Vmaxi cône = 2,0944 R² * R/(3√3) ≈ 0,4031 R³ .  

   on est content puisqu' on retrouve la remarque de la réponse 4°) .

■ application numérique avec R = 10 cm :

   r ≈ 8,165 cm et h ≈ 5,7735 cm

    Vcône = π * 8,165² * 5,7735 / 3 ≈ 403,1 cm³ .

     ou Vmaxi cône ≈ 0,4031 * 10³ ≈ 403,1 cm³ .