Bonjour, pouvez vous m’aidez pour ce dm de mathématiques de terminal S svp ? (Exo 2).... Pergunta de ideia deAdtht12

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Bonjour, pouvez vous m’aidez pour ce dm de mathématiques de terminal S svp ? (Exo 2)

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scoladan

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Bonjour,

Ex 2) f(x) = sin(2x)

1) sin(2x) = sin(x + x) = sin(x)cos(x) + cos(x)sin(x) = 2sin(x)cos(x)

2) f(-x) = sin(-2x) = -sin(2x) = -f(x)

⇒ f est impaire

On peut réduire l'étude à [0;+∞[ et la courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine.

3) Existe-t-il T∈R tel que f(x + T) = f(x) ?

f(x + T) = sin(2(x + T)) = sin(2x + 2T)

La fonction sinus a une période de 2π.

⇒ 2T = 2π ⇒ T = π

f est périodique de période π.

⇒ On peut limiter son étude à tout intervalle d'amplitude π.

4) D'après ce qui précède, on peut limiter l'étude à [0;π] ou à [-π/2;π/2]

De plus f est impaire. Donc on peut réduire l'intervalle d'étude à [0;π/]

5) f(x) = sin(2x) = 2sin(x)cos(x) de la forme 2 x u x v

⇒ f'(x) = 2 [cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x)]

⇔ f'(x) = 2[cos²(x) - sin²(x)]

⇔ f'(x) = 2[cos(x) + sin(x)][cos(x) - sin(x)]

Sur [0;π/2], sin(x) et cos(x) sont positifs ou nuls

x      0 π/4    π/2
cos(x) 1    +    √2/2    +    0
sin(x)    0    +    √2/2     +       1
cos(x) + sin(x) + +
cos(x) - sin(x)    + 0 -
f'(x) + 0 -
f(x) 0 croissante 1    décroissante 0

6) f'(x) = 2cos(2x)

⇔ f'(x) = 2cos(x + x)

⇔ f'(x) = 2[cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x)]

⇔ f'(x) = 2[cos²(x) - sin²(x)]

⇔ f'(x) = 2[2cos²(x) - 1]

Signe de f'(x) :

2cos²(x) - 1 = 0

⇔ cos²(x) = 1/2

⇔ cos(x) = √(1/2) = √(2)/2 ⇒ x = π/4

⇒ f'(x) ≥ 0 sur [0;π/4] et ≤0 sur [π/4;π/2]

x 0 π/4 π/2
f'(x) +    0    -
f(x) crois. décrois.

7) graphique..

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