Réponse :

Bonjour fais un dessin en prenant a=4cm (ceci pour visualiser la situation et vérifier les derniers calculs. EH=4cm ; EF=6cm ;FM=2cm et HK=2cm

Explications étape par étape :

1)vecEF*vecEM On note que F est le projeté orthogonal de M sur [EF)

donc vecEF*vecEM=EF²=9a²/4

De même H est le projeté de K sur [EH) donc

vecEH*vecEK=EH²=a²

2) vecEK*vecEM:  ce qui suit est en vecteur ajoute les flèches.

EK*EM=(EH+HK)(EF+FM)=EK*EF+EH*FM+HK*EF+HK*FM

                             EK*EM=      0    +a²/2   +3a²/4   +0

vecEK*vcEM=5a²/4

3)L étant le projeté de K sur [EM) vecEK*vecEM=EL*EM

calculons EM= V(EF²+FM²)=V(9a²/4+a²/4)=(aV10)/2

donc EL=(5a²/4)/[(aV10)/2)=(5a²/4)*(2/aV10)=5a/(2V10)

dans notre exemple si a=4cm EL=20/2V10=V10=3,2cm (environ)

4) vecEM*vecEK=II EM II*II EK II*cos KEM

EM=(aV10)/2   et  EK=V(EH²+HK²)=V(a²+a²/4)=(aV5)/2

cos(KEM)=(5a²/4)/[(aV10)/2+(aV5)/2]=5/V50=1/V2

donc KEM=45° (pi/4)

vérifie cette valeur sur le dessin.