Réponse :

1)   1,02= 1 +0,02 = 1 +  2/100  

donc   1,02 un correspond  à  la  population  provenant de l'accroissement de 2%  et   500  correspond  aux nouveaux habitants  

2)  uo = 25000     u1=1,02*25000+ 500 = 26000  habitants  en 2011

3) en  2012  c'est   u2=1.02u1+500=1,02*26000+500=  27020

4)non  car  26000/25000 ≠ 27020/26000

5)a) v0=u0+25000=50000    v1=u1+25000  =51000

  v2=u2+25000  = 52020

b) un=vn -25000       vn+1= un+1   +25000 = 1,02un  + 500 +25000

vn+1=  1,02(vn -25000)  + 500 + 25000  =1,02vn  - 26000 +500 +25000

vn+1 = 1,02 vn     la suite  vn  est   géométrique et de raison  1,02 son premier terme est v0

c) vn = vo*1,02^n = 50000*1,02^n     un = un=vn -25000  =50000*1,02^n-25000

d) Sn= v0 -25000 +v1 -25000 +...+vn -25000  

= v0 +v1 +....+vn - 25000*(n+1)   =  (v0  - vn+1)  /( 1 - 1,02)   - 25000*(n+1)

=( 50000 -50000*1,02^(n+1) /( -0,02)   - 25000 *(n+1)

=  - 2500000 + 2500000*1,02^(n+1)  - 25000(n+1)  

6) u20 = 50000*1,02^20-25000     =    49297  habitants

7) 10%  * 49297 = 4929,7  arrondi  à  4930  élèves

4930/25 = 197,2   arrondi  à 198  professeurs au  1er janvier  2020

Explications étape par étape