Réponse :

Bonjour, quelqu'un peut m'aider pour cet exercice de 1ère spé maths svp merci beaucoup ! (voir pièce jointe).

g est définie sur [0 ; + ∞[  par  g(x) = 4x² - x - √x

1) a) déterminer l'ensemble de dérivabilité D de g

                D = ]0 ; + ∞[

b) montrer que, pour tout réel x de D; on a g '(x) = ((16x - 2)√x  - 1)/2√x

g(x) = 4x² - x - √x

g est la somme d'un polynôme et d'une racine carrée  est dérivable sur ]0 ; + ∞[ et sa dérivée g ' est :  g '(x) = 8x - 1 - 1/2√x

                                                           = (8x * 2√x - 2√x - 1)/2√x

                                                            = (16x√x  - 2√x - 1)/2√x

                                                            = ((16x - 2)√x  - 1)/2√x

c) justifier que, pour x ∈ D , g '(x) est du signe de (16x - 2)√x  - 1

g '(x)  = ((16x - 2)√x  - 1)/2√x      or 2√x > 0  car  x ∈ D

donc le signe de g '(x) est du signe de (16x - 2)√x  - 1

2) on pose  pour x ∈ D,  h(x) = (16x - 2)√x - 1

a) établir le tableau de variation de la fonction h

h est dérivable sur D  et sa dérivée h' est  h '(x) = (uv)' = u'v+v'u

u(x) = 16x - 2  ⇒ u'(x) = 16

v(x) = √x   ⇒ v'(x) = 1/2√x

h '(x) = 16√x + (16x - 2) * 1/2√x

        = (32x + 16x - 2)/2√x

        = (48x - 2)/2√x

        = 2(24x - 1)/2√x

        = (24x - 1)/√x     or   √x  > 0

Donc le signe de h '(x) est du signe de 24x - 1

       x     0                             1/24                       + ∞

    h '(x)                -                   0               +

    h(x)   -1 →→→→→→→→→→→ ≈ - 1.27→→→→→→→→→ + ∞

                  décroissante               croissante

h(1/24) = (16/24 - 2)√(1/24)  - 1 = - 4/3)*2√6/24 - 1 = - √(6)/9 - 9/9 =

= (-√6 - 9)/9 ≈ - 1.27

b) calculer h(1/4); en déduire le tableau de signe de h

h(1/4) = (16*(1/4) - 2)√(1/4) - 1

         = 2/2 - 1

         = 0

        x    0                        1/4                       + ∞

      h(x)                -            0             +

3) a) déduire de la question 2.b le signe de g'

    puisque g '(x) = h(x)/2√x    or  2√x > 0

donc le signe de g '(x) est du signe de h(x) déjà donné en 2.b

b) déterminer le minimum de g

       le minimum de g est - 1/2

   g(1/4) = 4*(1/4)² - 1/4 - √(1/4) = - 1/2

Explications étape par étape :