Bonjour,

1) AB.AM = 0 ⇔ ||AB|| x ||AM|| x cos(AB;AM) = 0

⇒ AM = 0 ou (AB;AM) = kπ

⇒ M appartient à la perpendiculaire à (AB) passant par A (sauf si A = B, auquel cas M est un point quelconque. On suppose pour la suite A ≠ B)

2) AB.CM = 0

⇒ M appartient à la perpendiculaire à (AB) passant par C.

3) PA.PB = 0

⇒ PA ⊥ PB

⇒ P appartient au cercle de diamètre [AB]

A(2,1), B(-3,4) et C(1;-2)

vecteur directeur de (AB) : AB(-5;3)

⇒ (AB) : 3x + 5y + c = 0

A ∈ (AB) ⇒ 3*2 + 5*1 + c = 0 ⇒ c = -11

⇒ (AB) : 3x + 5y - 11 = 0

1) AB.AM = 0 ⇒ M appartient à la perpendiculaire (d) à (AB) passant par A.

⇒ vecteur directeur de (d) : u(3;5)

⇒ (d) : -5x + 3y + c = 0

A ∈ (d) ⇒ -5*2 + 3*1 + c = 0 ⇒ c = 7

⇒ (d) : -5x + 3y + 7 = 0

2) AB.CM = 0 ⇒ M appartient à la perpendiculaire (d') à (AB) passant par C.

⇒ (d') : -5x + 3y + c = 0      (car (d')//(d) donc même vecteur directeur)

C ∈ (d') ⇒ -5*1 + 3*(-2) + c = 0 ⇒ c = 11

⇒ (d') : -5x + 3y + 11 = 0

3) PA.PB = 0 ⇒ M appartient au cercle de diamètre [AB]

Soit O le centre de cercle, donc milieu de [AB]

⇒ O(-1/2 ; 5/2]

et R le rayon de cercle, soit R = ||AB||/2 = √[(-5)² + (3)²]/2 = √(34)/2

M appartient alors au cercle d'équation :

(x + 1/2)² + (y - 5/2)² = 34/4