on utilise l'identité  

a³ + b³ = (a + b)(a² -ab + b²)

avec a = sin²x et b = cos²x

(sin²x)³ + ( cos²x)³ = (sin²x + cos²x)(sin⁴x - sin²x cos²x + cos⁴x)

                             =            1 * (sin⁴x - sin²x cos²x + cos⁴x)

                             = (sin⁴x - sin²x cos²x + cos⁴x)

on fait apparaître le développement de (sin²x + cos²x)²

                           = sin⁴x + 2sin²x cos²x + cos⁴x - 2sin²x cos²x - sin²x cos²x

                         = (sin²x + cos²x)² - 3 sin²x cos²x

                          =          1           -      3 sin²x cos²x

on a montré que

(sin²x)³ + ( cos²x)³ = 1  -   3 sin²x cos²x

(sin²x)³ + ( cos²x)³ -  3 sin²x cos²x = 1

d'où la relation proposée dans l'énoncé