Réponse :

3) démontrer à l'aide de la relation de Chasles  que vect(PN) = 2 x vect(AC)

vect (PN) = vect(PM) + vect(MN)   relation de Chasles

or vect (MP) = - vect(PM) = - 2 x vect(MA) = 2 x vect(AM)

    vect(MN) = 2 x vect(MC)

on aura :  vect(PN) = 2 x vect(AM) + 2 x vect(MC) = 2 x (vect(AM) + vect(MC))

or vect(AM) + vect(MC) = vect(AC)  relation de Chasles

donc on a : vect(PN) = 2 x vect(AC)

4) en déduire que les droites (AC) et (PN) sont //

les vecteurs AC et PN sont colinéaires ssi il existe un réel k  tel que vect(PN) =  k x vect(AC)

en effet; nous savons que vect(PN) = 2 x vect(AC)   avec k = 2  donc les vecteurs (AC) et (PN) sont colinéaires on en déduit que (AC) // (PN)

et que les points A et C sont les milieux respectifs de (PM) et (MN)

sachant que vect(MP) = 2 x vect(MA) ⇔ vect(MA) = vect(AP) ⇒ donc A est le milieu de (PM)

vect (MN) = 2 x vect(AC) ⇔ vect(MC) = vect(CN)  donc C est le milieu de (MN)  

Explications étape par étape