Réponse :

Partie A

g(x) = x³ - 3 x - 4   définie sur [- 1 ; 1]

1) déterminer les variations de la fonction g puis dresser son tableau de variation sur [- 1 ; 1]

 la fonction dérivée de g est  g '(x) = 3 x² - 3   d'où  g '(x) = 0  

⇔ 3(x² - 1) = 0 ⇔ x² - 1 = 0  ⇔ (x + 1)(x - 1) = 0  ⇔ x = - 1 ou x = 1

puisque  - 1 ≤ x ≤ 1  ⇔ - x ≤ x² ≤ x  ⇔ - x - 1 ≤ x² - 1 ≤ 0

donc  x² - 1 ≤ 0  alors  g est décroissante sur [- 1 ; 1]

tableau de variation de g

      x     - 1                                  1          

    g(x)   - 2 →→→→→→→→→→→→→ - 6

                     décroissante

2) en déduire le signe de la fonction g  sur [- 1 ; 1}

    puisque g(- 1) = - 2  et g(1) = - 6  et  g(0) = - 4

donc g(x) ≤ 0  sur [- 1 ; 1]

Partie B

1) justifier que f est dérivable sur ]-1 ; 1[  puis pour tout x ∈]- 1 ; 1[

on a, f '(x) = x * g(x)/(x² - 1)²

f (x) =  (x³ + 2 x)/(x² - 1)   définie sur ]- 1 ; 1[

x³ + 2 x  est dérivable sur [-1 ; 1] et x² - 1 est dérivable sur l'intervalle ]- 1 ; 1[

donc le quotient de deux polynômes est dérivable sur l'intervalle ]- 1 ; 1[

par conséquent  f(x) est dérivable sur ]- 1 ; 1[

f '(x) = [(3 x² + 4 x)(x² - 1) - 2 x(x³ + 2 x²)](x² - 1)²

       = (3 x⁴ - 3 x² + 4 x³ - 4 x - 2 x⁴ - 4 x³)/(x² - 1)²

       = (x⁴ - 3 x² - 4 x)/(x² - 1)²

       = x(x³ - 3 x - 4)/(x² - 1)²     or g(x) = x³ - 3 x - 4

donc  f '(x) = (x * g(x))/(x² - 1)²

2) en déduire les variations de f sur ]- 1 ; 1[

   or  g(x) ≤ 0   et  (x² - 1)² > 0   donc le signe de f '(x) dépend du signe de si x ≥ 0 ⇒  x * g(x) ≤ 0  donc  f '(x) < 0

si x ≤ 0  ⇒ x * g(x) ≥ 0  donc f '(x) > 0

          x   - 1                          0                           1

        f(x)   - ∞ →→→→→→→→→→ 0 →→→→→→→→→→→ - ∞

2) f '(a) = 1  ⇔ a(a³ - 3 a - 4)/(a² - 1)² = 1  ⇔ a(a³ - 3 a - 4) = (a² - 1)²

⇔ a⁴ - 3 a² - 4 a = a⁴ - 2 a² + 1  ⇔  a² + 4 a + 1 = 0

Δ = 16 - 4 = 12  ⇒ √Δ = 2√3

a1 = - 4 + 2√3)/2 = - 2 + √3    ou  a2 = - 2 - √3  

Explications étape par étape