tout nombre entier est de la forme

4k  ;   4k + 1  ;  4k + 2   ou  4k + 3      (or 4k et 4k + 2 sont pairs)

donc tout nombre entier impair est de la forme

4k + 1  ou 4k + 3    

4k + 3 peut d'écrire 4k + 4 - 1   soit 4(k + 1) -1 ou encore 4k' - 1  

on en déduit que tout impair est    

soit : (un multiple de 4) + 1             soit : (un multiple de 4) - 1

c'est valable pour les nombres premiers (sauf 2) puisqu'ils sont impairs.

cela n'apprend rien de particulier sur les nombres premiers. La réciproque bien sûr est fausse

Ce n'est pas parce qu'un nombre est de la forme 4k + 1 ou 4k - 1 qu'il est premier

4 x 5 + 1 n'est pas premier