Réponse :

1) f : x → (x + 3)√(x + 3)

f '(x) = (u*v)' = u'v + v'u

u(x) = x + 3  ⇒ u '(x) = 1

v(x) = √(x + 3) ⇒  v '(x) = 1/2√(x+3)

f '(x) = √(x+3) + (x+3)/2√(x + 3)

      = [2√(x+3) * √(x+3) + (x + 3)]/2√(x+3)      or  x + 3 > 0

      = [2(x+3) + x + 3)]/2√(x+3)

      = (2 x + 6 + x + 3)/2√(x+3)

 f '(x) = (3 x + 9)/2√(x+3)

2)  f : x →  1/(x⁸ + 1)

f '(x) = - 8 x⁷/(x⁸+1)

3) f ; x → √(x² + 2 x + 1)

  f '(x) = u'/2√u

u (x) = x² + 2 x + 1  ⇒ u '(x) = 2 x + 2

f '(x) = (2 x + 2)/2√(x²+2 x + 1)  = 2(x + 1)/2√(x + 1)²      or  x + 1 > 0

donc f '(x) = (x + 1)/(x + 1) = 1

4) f '(x) = eˣ/2√(eˣ - 1)    

Explications étape par étape :