Bonsoir, J'aurais besoin d'aide pour ces exercices de maths je suis bloqué. Je remercie d'avance ceu.... Pergunta de ideia deSweedy

December 2020 1 58 Report

Bonsoir,
J'aurais besoin d'aide pour ces exercices de maths je suis bloqué. Je remercie d'avance ceux qui prendront le temps de m'aider.

Bonjour,

$(u+v)^3=(u+v)(u+v)^2\\\\=(u+v)(u^2+2uv+v^2)\\\\=u^3+2u^2v+uv^2+u^2v+2uv^2+v^3\\\\\boxed{=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3}$

Remplaçons x par x = u+v

$(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3=15(u+v)+4\\\\=15u+15v+4\\ \\ u^3+v^3+3uv(u+v)-15(u+v)-4=0\\ \\u^3+v^3+3(u+v)(uv-5)-4=0$

3) uv = 5 cela donne

$u^3+v^3-4=0 u^3+v^3=4$

et aussi

$u^3\times v^3=(uv)^3=5^3=125$

Pour info (non demandé par l'énoncé):

Si jamais on pose $U=u^3$ et $V=v^3$

alors U et V vérifient

$U+V=4\\\\UV=125$

Ce sont donc les racines de ce polynôme.

$(x-U)(x-V)=x^2-(U+V)x+UV=x^2-4x+125=0$

Ce qui explique la question suivante

$\Delta=4^2-4\times 125=4(4-125)=-4\times 121 = -484=(22i)^2$

Le discriminant est négatif, il n'y a pas de solutions réelles, mais on peut expliciter deux racines complexes.

$x_1=\dfrac{4-22i}{2}=2-11i\\\\x_2=\dfrac{4+22i}{2}=2+11i$

(non demandé par l 'énoncé)

Et on peut faire le lien avec la première équation.

$x=u+v=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}$ est solution de

$x^3=15x+4$

Merci