Réponse :

soit  f(x) = - 3 x² - 12 x - 11

a) exprimer -1/3) f(x) + 1/3 en fonction de x

       -1/3(- 3 x² - 12 x - 11) + 1/3 ⇔ x² + 4 x + 11/3 + 1/3

⇔ x² + 4 x + 12/3 ⇔ x² + 4 x + 4 ⇔ (x+2)²

b) en déduire la forme canonique de f

        - 1/3 f(x) + 1/3 =  (x+2)²

⇔ - 1/3 f(x) = (x+2)² - 1/3

⇔ f(x) = - 3(x+2)² + 1

2) cas général

a) exprimer 1/a f(x) - 1/a f(-b/2a) en fonction de x

a ∈ R*  b ∈ R et c ∈ R      f(x) = a x² + b x + c

    1/a(a x² + b x + c) - 1/a(a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c)

     ⇔ x² + b/a x + c/a - 1/a(a(b²/4a²) - b²/2a + c)

     ⇔ x² + b/a x + c/a - b²/4a² + b²/2a² - c/a

     ⇔ x² + b/a x + c/a - b²/4a² + 2b²/4a² - c/a

     ⇔ x² + b/a x + b²/4a² = (x + b/2a)²

b) en déduire la forme canonique de f

1/a f(x) - 1/a f(-b/2a) = (x + b/2a)²

⇔ 1/a f(x) = (x+ b/2a)² + 1/af(-b/2a)     ⇔ 1/a f(x) = (x+b/2a)² - b²/4a² + c/a

⇔ f(x) = a(x+b/2a)² - b²/4a + c  

Explications étape par étape