Réponse :

la valeur cherchée maximale de n est n = 7

Explications étape par étape :

■ bonsoir Clothilde !

■ soient a et b les deux nombres réels

■ a + b = n ( entier positif ) ; et a² + b² = n + 19

■ (a+b)² = n² ; et a² + b² = n + 19 .

  a²+b²+2ab = n² ; et a² + b² = n + 19 .

  n+19 + 2ab = n²

  n² - n -2ab-19 = 0    

■ étude avec n = 0 :

 2ab = -19 donne ab = -9,5 donc a = √9,5 et b = -√9,5

■ étude avec n = 1 :

   a+b = 1 ; et a²+b² = 20

   b = 1-a ; et a²+(1-a)² = 20

   b = 1-a ; et 2a² - 2a + 1 = 20

   b = 1-a ; et a² - a - 9,5 = 0

   a = 0,5+√9,75 ≈ 3,6225 ; et b = 0,5-√9,75 ≈ -2,6225

■ étude avec n = 2 :

   b = 2-a ; et a²+(2-a)² = 21

   b = 2-a ; et 2a² - 4a + 4 = 21

   b = 2-a ; et a² - 2a - 8,5 = 0

   a ≈ 4,08 ; et b ≈ -2,08

■ étude avec n = 3 :

   b = 3-a et 2a² - 6a + 9 = 22

                      a² - 3a - 6,5 = 0

   a ≈ 4,458 et b ≈ -1,458

■ étude avec n = 4 :

   2a² - 8a + 16 = 23

     a² - 4a - 3,5 = 0

     a ≈ 4,7386 et b ≈ -0,7386

■ étude avec n = 5 :

   2a² - 10a + 25 = 24

      a² - 5a + 0,5 = 0

      a ≈ 4,9 et b ≈ 0,1

■ étude avec n = 6 :

   2a² - 12a + 36 = 25

     a² - 6a + 5,5 = 0

     a ≈ 4,87 et b ≈ 1,13

■ étude avec n = 7 :

    a² - 7a + 11,5 = 0

    a ≈ 4,37 et b ≈ 2,63

■ étude avec n = 8 :

   a² - 8a + 18,5 = 0

   discriminant = 8² - 74 = -10 < 0 d' où absence de racine réelle !!

■ conclusion :

la valeur cherchée maximale de n est n = 7 .

■ remarque :

√19 ≈ 4,36 est proche de la "valeur limite" de a trouvée

( a ≈ 4,37 avec n = 7 )