Réponse :

ex.64

Déterminer les limites suivantes à l'aide du taux d'accroissement

1) lim (e^h - 1)/h  

 h→0                  

lim (f(0+h) - f(0))/h = f '(0)     avec  f(x) = eˣ

h→0

la fonction f est dérivable en 0 est sa dérivée  f '(x) = eˣ  d'où f '(0) = e⁰ = 1

donc   lim (e^h - 1)/h = 1

          h→0

2) lim (t³ - 8)/(t - 2)

  t→2                        

lim (f(2+h) - f(2))/h = (h³ + 6 h² + 12 h + 8  - 8)/h    avec f(t) = t³

h→0

lim (f(2+h) - f(2))/h = h(h² + 6 h + 12)/h  = f '(2)

h→0

f est dérivable sur R est sa dérivée  f ' est  f '(t) = 3 t²  ⇒ f '(2) = 3*2² = 12

donc  lim (t³ - 8)/(t - 2) = 12

         t→2

3) lim (√t  - 5)/(t - 25)

   t→25

lim (f(25+h) - f(25))/h = f '(25)     avec f(t) = √t      t > 0

h→0

f(25+h) - f(25) = √(25+h) - √25

                       = √(25+h) - 5

                       = (√(25+h) - 5)(√(25+h) + 5)/(√(25+h) + 5)

                       = (25+h - 25)/(√(25+h) + 5)

                       = h/(√(25+h) + 5)

donc lim (h/(√(25+h) + 5) = f '(25)

        h→0

f est dérivable en 25  et sa dérivée  f '  est   f '(t) = 1/2√t ⇒ f '(25) = 1/10

lim (√t  - 5)/(t - 25) = 1/10

   t→25

Explications étape par étape :