Réponse :

Bonsoir,

Veuillez m’excuser pour le dérangement, pourriez-vous si possible bien sûr m’aider pour ces 2 exercices sur le raisonnement par récurrence avec une explication étape par étape s’il vous plaît ❤️. Je vous en remercie.

41)  t1 = 1  et  pour tout entier naturel n non nul ;  tn+1 = 4tn + 3

Montrer que, pour tout entier naturel non nul n ,  tn = 3 x 4ⁿ - 1

on note  Pn:  tn = 3 x 4ⁿ - 1

* initialisation : vérifions pour n = 1 que P(1) est vraie

     t1 = 11 = 3 x 4⁰ - 1 = 11  DONC P(1) est vraie

* hérédité:   soit un entier n non nul; et supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie

H.R:   tn =  3 x 4ⁿ - 1   ⇔ 4tn = 4(3 x 4ⁿ - 1) = 3 x 4ⁿ⁺¹ - 4

⇔ 4tn + 3 =  3 x 4ⁿ⁺¹ - 4 + 3   ⇔ 4tn + 3 =  3 x 4ⁿ⁺¹ - 1   ⇔ tn+1 = 3 x 4ⁿ⁺¹ - 1

donc  P(n+1) est vraie

* conclusion:  P(1) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n

                       donc par récurrence  P(n) est vraie pour tout entier naturel non nul n.

42) v1 = 2 et pour tout entier n ∈ N*   vn+1 = 3/5)vn + 2

MONTRER que pour tout entier n ∈ N*;  vn ≤ 5

on note  Pn:  vn ≤ 5

* initialisation: vérifions pour n = 1  que P(1) est vraie

             v1 = 2 ≤ 5  donc   P(1) est vraie

* hérédité:  soit un entier n non nul;  et supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie

H.R:   vn ≤ 5   ⇔ 3/5)vn ≤ 5 x 3/5  ⇔ 3/5)vn ≤ 3  ⇔ 3/5)vn + 2 ≤ 3 + 2

⇔  3/5)vn + 2 ≤ 5   ⇔ vn+1 ≤ 5  donc  P(n+1) est vraie

* conclusion:  P(1) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n

                       donc par récurrence  P(n) est vraie pour tout entier naturel non nul n.

Explications étape par étape :