Calcule a área total e o volume de um cone equilátero, sabendo que a área lateral é igual a 32πcm².
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Cone equilátero : geratriz = diâmetro da base (geratriz = 2 * raio da base)
Área lateral (Al) = π * r * g , em que : r → raio da base; g → geratriz...
Sendo um cone equilátero, g = 2 * r...
Sendo ⇒ Al = 32 * π cm² :
32 * π = π * r * g → "Corta-se" π ! 32 = r * g → g = 2 * r : 32 = r * 2 * r 32 / 2 = r² r² = 16 r = √16 r = 4 cm → raio da base ! (descarta-se a raiz negativa)
Logo, g = 2 * 4 ⇒ g = 8 cm → geratriz do cone !
Área total (At) = Área lateral (Al) + Área da base (Ab)
A base é um círculo, de forma que : Ab = π * r²
Sendo ⇒ r = 4 cm : Ab = π * 4² Ab = 16 * π cm²
At = Al + Ab Sendo ⇒ Al = 32 * π cm² e Ab = 16 * π cm² :
At = 32 * π +16 * π At = 48 * π cm² ⇒ Área total do cone !
Volume (V) = Ab * h / 3
Por Pitágoras, traçamos um triângulo retângulo, em que a geratriz (g) é a hipotenusa e a altura (h) e o raio (r) são os catetos. Logo :
g² = h² + r² Sendo ⇒ g = 8 cm e r = 4 cm :
8² = h² + 4² 64 - 16 = h² h² = 48 h = √48 → Fatorando : h = 4 * √3 cm → Altura do cone !
V = Ab * h / 3 Sendo ⇒ Ab = 16 * π cm² e h = 4 * √3 cm :
V = 16 * π * 4 * √3 / 3 V = (64 * π * √3 / 3) cm³ ⇒ Volume do cone !
Se ainda aproximarmos π ≈ 3, obtemos V = 64 * √3 cm³, mas o exercício não nos deu essa aproximação.
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Área lateral (Al) = π * r * g , em que :
r → raio da base;
g → geratriz...
Sendo um cone equilátero, g = 2 * r...
Sendo ⇒ Al = 32 * π cm² :
32 * π = π * r * g → "Corta-se" π !
32 = r * g → g = 2 * r :
32 = r * 2 * r
32 / 2 = r²
r² = 16
r = √16
r = 4 cm → raio da base ! (descarta-se a raiz negativa)
Logo, g = 2 * 4 ⇒ g = 8 cm → geratriz do cone !
Área total (At) = Área lateral (Al) + Área da base (Ab)
A base é um círculo, de forma que :
Ab = π * r²
Sendo ⇒ r = 4 cm :
Ab = π * 4²
Ab = 16 * π cm²
At = Al + Ab
Sendo ⇒ Al = 32 * π cm² e Ab = 16 * π cm² :
At = 32 * π +16 * π
At = 48 * π cm² ⇒ Área total do cone !
Volume (V) = Ab * h / 3
Por Pitágoras, traçamos um triângulo retângulo, em que a geratriz (g) é a hipotenusa e a altura (h) e o raio (r) são os catetos. Logo :
g² = h² + r²
Sendo ⇒ g = 8 cm e r = 4 cm :
8² = h² + 4²
64 - 16 = h²
h² = 48
h = √48 → Fatorando :
h = 4 * √3 cm → Altura do cone !
V = Ab * h / 3
Sendo ⇒ Ab = 16 * π cm² e h = 4 * √3 cm :
V = 16 * π * 4 * √3 / 3
V = (64 * π * √3 / 3) cm³ ⇒ Volume do cone !
Se ainda aproximarmos π ≈ 3, obtemos V = 64 * √3 cm³, mas o exercício não nos deu essa aproximação.