∫ cos⁴(3x) dx

Fazendo u=3x ==> du=3 dx

(1/3)∫ cos⁴u  du

cos 2u =2cos²u-1

(cos (2u))²=(2cos²u-1)²

cos²(2u) =4cos⁴(u)-4cos²(u)+1

cos⁴(u) =[cos²(2u) +4cos²(u) -1]/4

(1/3)∫ [cos²(2u) +4cos²(u) -1]/4  du

(1/12) * ∫cos²(2u) +4cos²(u) -1  du

∫cos²(2u) du  =(1/8)*(4u+sen(4u))

∫4cos²(u) du  =  2u + sen(2u)

∫ -1  du  = - u

(1/12) * ∫ [ (1/8)*(4u+sen(4u))  + 2u + sen(2u) - u ]  + const

Como u = 3x , temos então:

(1/12) * [ (1/8)*(12x+sen(12x))  + 6x + sen(6x) - 3x ]  + const

(1/12) * [ 3x/2+(1/8)*sen(12x)  + 3x + sen(6x)  ]  + const

(1/12) * [ 9x/2+(1/8)*sen(12x)   + sen(6x)  ]  + const

(1/96) * [ 36x +sen(12x)   + 8*sen(6x)  ]  + const é a resposta