Calcule o limite, se existir:.... Pergunta de ideia dePablo516

January 2020 1 162 Report

Calcule o limite, se existir:

$\lim_{h \to \+1} \frac{ \sqrt[3]{h} - 1 }{ \sqrt{h} - 1 }$

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DanJR

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Olá Pablo!

Substituindo "h" por um, teremos uma indeterminação. Com isso, podemos aplicar L'Hospital; caso não tenha visto tal regra, fazemos...

$\\ \lim_{\mathsf{h \to 1}} \mathsf{\frac{\sqrt[3]{h} - 1}{\sqrt{h} - 1} =} \\\\\\ \lim_{\mathsf{h \to 1}} \mathsf{\frac{\sqrt[3]{h} - 1}{\sqrt{h} - 1} \times \frac{\sqrt{h} + 1}{\sqrt{h} + 1}=} \\\\\\ \mathsf{\lim_{\mathsf{h \to 1}} \frac{(\sqrt[3]{h} - 1)(\sqrt{h} + 1)}{h - 1}=}$

Mas, da fatoração $\mathsf{a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)}$ ; tiramos que $\mathsf{h - 1 = (h^{\frac{1}{3}} - 1)(h^{\frac{2}{3}} + h^{\frac{1}{3}} + 1)}$ .

Com efeito,

$\\ \mathsf{\lim_{\mathsf{h \to 1}} \frac{(\sqrt[3]{\mathsf{h}} - 1)(\sqrt{h} + 1)}{h - 1}=} \\\\\\ \mathsf{\lim_{\mathsf{h \to 1}} \frac{(\sqrt[3]{\mathsf{h}} - 1)(\sqrt{h} + 1)}{(h^{\frac{1}{3}} - 1)(h^{\frac{2}{3}} + h^{\frac{1}{3}} + 1)}=} \\\\\\ \mathsf{\lim_{\mathsf{h \to 1}} \frac{(\sqrt[3]{\mathsf{h}} - 1)(\sqrt{h} + 1)}{(\sqrt[3]{\mathsf{h}} - 1)(\sqrt[3]{\mathsf{h^2}} + \sqrt[3]{\mathsf{h}} + 1)} =} \\\\\\ \mathsf{\lim_{\mathsf{h \to 1}} \frac{\sqrt{h} + 1}{\sqrt[3]{\mathsf{h^2}} + \sqrt[3]{\mathsf{h}} + 1} =}$

$\\ \mathsf{\frac{\sqrt{1} + 1}{\sqrt[3]{\mathsf{1^2}} + \sqrt[3]{\mathsf{1}} + 1} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{1 + 1}{1 + 1 + 1} =} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\frac{2}{3}}}$

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Pablo516 Muito obrigado Dan, estava em dúvida nessa questão e sobre qual termo racionalizar, excelente explicação.

DanJR Não há de quê, Pablo!