Resposta:

[tex] \green{ {2}^{20} \: = \: 1048576} [/tex]

Explicação passo-a-passo:

[tex] {(\frac{ \frac{ {( - 2)}^{3} }{ {( \frac{ {( - 2)}^{ - 12} }{ {( - 2)}^{ - 20} } })^{2} } }{ \frac{ {( - 18)}^{ - 18} }{ {9}^{ - 18} } } )}^{4} [/tex]

Primeiro, vamos reorganizar essa bagunça :

[tex]{ (\frac{ {( - 2)}^{3} }{ {( \frac{ {( - 2)}^{ - 12} }{ {( - 2)}^{ - 20} } })^{2} } \: \div \: \frac{ {( - 18)}^{ - 18} }{ {9}^{ - 18} } )}^{4} [/tex]

Na divisão de frações vamos manter a primeira fração e multiplicar com a segunda fração invertida :

[tex]{ (\frac{ {( - 2)}^{3} }{ {( \frac{ {( - 2)}^{ - 12} }{ {( - 2)}^{ - 20} } })^{2} } \: \times \: \frac{ {9}^{ - 18} }{ {( - 18)}^{ - 18} } )}^{4} [/tex]

Esse [tex] {9}^{-18} [/tex] pode ser fatorado :

9 = 3 . 3 = 3²

[tex] {(3²)}^{-18} [/tex]

Como temos um parênteses que separa os dois expoentes então eles se multiplicam :

2 . (-18) = -36

[tex]{ (\frac{ {( - 2)}^{3} }{ {( \frac{ {( - 2)}^{ - 12} }{ {( - 2)}^{ - 20} } })^{2} } \: \times \: \frac{ \blue{{3}^{ - 36}} }{ {( - 18)}^{ - 18} } )}^{4} [/tex]

Podemos fatorar o 18 também :

[tex] {( {3}^{2}. \: 2) }^{ - 18} [/tex]

Fazendo a multiplicação de expoentes temos :

[tex] \orange {( {3}^{ - 36}. \: {2}^{ - 18} ) }[/tex]

[tex]{ (\frac{ {( - 2)}^{3} }{ {( \frac{ {( - 2)}^{ - 12} }{ {( - 2)}^{ - 20} } })^{2} } \: \times \: \frac{ \blue{{3}^{ - 36}} }{ \orange {{3}^{ - 36}. \: {2}^{ - 18}}})}^{4} [/tex]

Agora, podemos cancelar os [tex] {3}^{-36} [/tex] :

[tex]{ (\frac{ {( - 2)}^{3} }{ {( \frac{ {( - 2)}^{ - 12} }{ {( - 2)}^{ - 20} } })^{2} } \: \times \: \frac{ \red{{3}^{ - 36}} }{ \orange { \red{{3}^{ - 36}}. \: {2}^{ - 18}}})}^{4} [/tex]

[tex]{ (\frac{ {( - 2)}^{3} }{ {( \frac{ {( - 2)}^{ - 12} }{ {( - 2)}^{ - 20} } })^{2} } \: \times \: \frac{ 1 }{ \orange { {2}^{ - 18}}})}^{4} [/tex]

Para tirar esse sinal de - no expoente -18 temos que inverter a fração :

[tex]{ (\frac{ {( - 2)}^{3} }{ {( \frac{ {( - 2)}^{ - 12} }{ {( - 2)}^{ - 20} } })^{2} } \: \times \: \frac{ \orange{ {2}^{18} } }{ 1}})^{4} [/tex]

Agora, temos :

[tex] {( - 2)}^{3} \times \: {2}^{18} [/tex]

O - do -2 colocamos na fração e resta apenas 2³

2³ × 2¹⁸

Basta somar os expoentes e manter a base :

3 + 18 = 21

[tex] \purple{{2}^{21}} [/tex]

[tex]{ ( - \frac{ { \purple{{ 2}^{21}}} }{ {( \frac{ {( - 2)}^{ - 12} }{ { ( - 2)}^{ - 20 } } })^{2} }})^{4} [/tex]

[tex]{( \frac{ {( - 2)}^{ - 12} }{ { ( - 2)}^{ - 20 } } })^{2}[/tex]

Como temos a mesma base podemos dividir os expoentes, para isto, basta subtrai-los e manter a base :

-12 -(-20) = -12 + 20 = 8

[tex]{({ {( - 2)}^{ 8}}})^{2}[/tex]

Como o expoente é par então a base é positiva :

[tex]{({ {2}^{ 8}}})^{2}[/tex]

Multiplicando os expoentes temos :

[tex] \pink{ {2}^{16}} [/tex]

[tex]{ ( - \frac{ { \purple{{ 2}^{21}}} }{ \pink{{2}^{16}} }})^{4} [/tex]

Agora, vamos novamente dividir os expoentes :

2²¹ ÷ 2¹⁶

21 - 16 = 5

[tex]{ ( - \gray{ {2}^{5}} })^{4} [/tex]

Como o -2⁵ está elevado a 4 então, temos uma base negativa elevada a um expoente par resultando numa base positiva :

[tex]{ ( \gray{ {2}^{5}} })^{4} [/tex]

Agora, basta multiplicar os expoentes :

[tex] \green{ {2}^{20} \: = \: 1048576} [/tex]