Calcule o seguinte limite:.... Pergunta de ideia deFilipa2001

Filipa2001 @Filipa2001

May 2019 1 52 Report

Calcule o seguinte limite:

$\lim_{x \to \pi/2 } \frac{cosx}{2x-\pi }$

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gtsmat

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Resposta:

$\frac{1}{2}$

Explicação passo-a-passo:

Primeiro vamos reescrever o limite:

$\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{cos x}{2x-\pi}$

Se substituirmos x por pi/2, verificamos que o limite é do tipo 0/0, ou seja, é indeterminado.

Dessa forma, precisamos de alguma maneira sair da indeterminação, assim sendo, multiplicaremos em cima e em baixo por sen (2x-pi), daí:

$\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{cos x}{2x-\pi}.\frac{sen(2x-\pi)}{sen(2x-\pi)} =\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{sen(2x-\pi)}{2x-\pi}.\frac{cosx}{sen(2x-\pi)}$

Para o primeiro limite, fazemos u = 2x - pi, daí quando x->pi/2 temos que u-> 0, daí:

$\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{sen(2x-\pi)}{2x-\pi}=\lim_{u \to\ 0 } \frac{sen(u)}{u}=1$ (limite fundamental da trigonometria)

Para o segundo limite temos, que sen(2x-pi) = sen 2x, daí

$\lim_{x \to\ \frac{\pi}{2} } \frac{cosx}{sen(2x-\pi)} = \lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{cosx}{sen(2x)}=\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{cosx}{2.senx.cosx}=\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{1}{2.senx}=\frac{1}{2.1} =\frac{1}{2}$

Sendo assim, o limite fica igual a:

$\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{cos x}{2x-\pi}.\frac{sen(2x-\pi)}{sen(2x-\pi)} =\lim_{x \to\ \frac{\pi }{2} } \frac{sen(2x-\pi)}{2x-\pi}.\frac{cosx}{sen(2x-\pi)}=1.\frac{1}{2 } =\frac{1}{2 }$

Bons estudos!!!

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Filipa2001 obrigada!!!

Filipa2001 tenho uma duvida! cos(pi/2)= 0, então devia de dar 0 não?

Filipa2001 já percebi, só estava a olhar para o final

LucasStorck Excelente resposta, parabéns!

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Filipa2001 May 2019 | 0 Respostas

Calcule, se existir, o seguinte limite: lim(x->0) de (1-cosx)/sinx

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