d) 2,653

Para encontrar o log10 de 450, é necessário decompor o número 450 em uma base 10 elevada ao logaritmo desejado.

log10 450 = log10 (2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5) = log10 2 + log10 2 + log10 2 + log10 3 + log10 3 + log10 5

Como log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477, então:

log10 450 = 0,301 + 0,301 + 0,301 + 0,477 + 0,477 + 0

log10 450 = 2,653

Note que a decomposição em produto de potência da base 10 foi obtida pela fatoração prima do número 450.

Logaritmos

Exercício: Considerando [tex]\sf log_{10}2=0,301[/tex] e [tex]\sf log_{10}3=0,477[/tex], então [tex]\sf log_{10}450[/tex] será igual a:

Em casos assim é comum algumas manipulações com o objetivo de termos logaritmos com logaritmandos e base conhecidas. Devemos conhecer as propriedades dos logaritmos:

[tex]\sf log(a.b)=log~a+log~b\\ \\ \sf log(\frac{a}{b})=log~a-log~b\\ \\ log~a^n=n.(log~a)[/tex]

Veja que o 450 = 45.10 = 9.5.2.5 = 3² . 5² . 2, então

[tex]\sf log(3^2.5^2.2)=log~3^2+log~5^2+log~2\\ \\ \sf =2log~3+2log~5+log~2[/tex]

Obtemos logaritmos conhecidos, então substituindo os valores, ficamos

[tex]\sf =2log~3+2log~5+log~2\\ \\ \sf= 2.(0,477)+2log~5+0,301\\ \\ \sf=0,954+2log~5+0,301\\ \\ \sf=2log~5+1,255[/tex]

Vamos fazer manipulações com o 2.log 5 de modo a obter logaritmos conhecidos, assim

[tex]\sf 2.(log~5)=2.(log~\frac{10}{2} )=2(log~10-log~2)[/tex]

log 10 = 1, então

[tex]\sf 2(1-0,301)=2.(0,699)=1,398[/tex]

Somando os valores obtidos, ficamos

[tex]\sf log~450=1,398+1,255=2,653\\ \\ \boxed{\bf log_{10}450=2,653}~\checkmark[/tex]

Alternativa d)