A integral da função f(x) é dada pela letra d) [tex]x\cdot\left(\ln\left(x\right)+4\right)+\dfrac{2x^\frac{3}{2}}{3}[/tex]

Linearidade

O primeiro passo para se calcular uma integral é aplicar a linearidade sempre que possível.

Lembre que a integral [tex]\int k\cdot g(x) + h(x) dx[/tex] equivale a [tex]k\cdot \int g(x)dx + \int h(x) dx[/tex] (onde k é uma constante).

Portanto:

[tex]\int \ln\left(x\right)dx + \int \sqrt{x}dx+\int 5dx[/tex]

Obtendo o resultado da primeira integral:

Integramos por partes para obter [tex]\int \ln(x) dx[/tex]

Para isso definimos nossa f(x), g(x).

[tex] f = ln(x) \,\,\,\,\,\, g' = 1[/tex]

[tex] f' = \frac{1}{x} \,\,\,\,\,\, g' = x[/tex]

Lembrando que a integral por partes vem de [tex](fg)' = f'g+fg'[/tex]:

[tex] \int f(x)g'(x) dx = \int [ (f(x)g(x))'  - f'(x)g(x)] dx[/tex]

[tex]\int ln(x) = xln(x) - \int 1 dx[/tex]

[tex]\int ln(x) = xln(x) - x[/tex]

Obtendo o resultado da segunda integral:

A raiz é apenas uma potência fracionária.

[tex]\int \sqrt{x} dx= \int x^{1/2} dx[/tex]

Logo [tex]\int x^{1/2} = \dfrac{2}{3}x^{3/2}

Obtendo o resultado da terceira integral:

A integral de uma constante dá uma função linear:

[tex]\int 5 dx = 5x[/tex]

Somando as 3 funções, obtemos a resposta:

[tex]x\cdot\left(\ln\left(x\right)+4\right)+\dfrac{2x^\frac{3}{2}}{3}[/tex]

Para mais exercicios de cálculo integral veja:

https://brainly.com.br/tarefa/51033932