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Aplicando as definições de limites, fazendo as simplificações possíveis

o resultado é   [tex]\lim_{x \to \infty} (f(x)) =\dfrac{a}{A}[/tex]

Sendo a função:

[tex]f(x) =\dfrac{ax^2+bx+c}{Ax^2+Bx+C}[/tex]

O cálculo do limite quando x → + ∞ passa por no numerador, dividir todos

os termos por x².

De seguida multiplicar o obtido por x², desta maneira

[tex]\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} (\dfrac{x^2*(\dfrac{ax^2}{x^2} +\dfrac{bx}{x^2} +\dfrac{c}{x^2}) }{Ax^2+Bx+C})[/tex]

Idêntico procedimento para o denominador

[tex]\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} (\dfrac{x^2*(\dfrac{ax^2}{x^2} +\dfrac{bx}{x^2} +\dfrac{c}{x^2}) }{x^2*(\dfrac{Ax^2}{x^2} +\dfrac{Bx}{x^2} +\dfrac{C}{x^2} )})[/tex]

Como x tende para  + ∞ , logo não vai ser igual a zero podemos cancelar

o x² no numerador com o x² no denominador.

[tex]\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} (\dfrac{(\dfrac{ax^2}{x^2} +\dfrac{bx}{x^2} +\dfrac{c}{x^2}) }{(\dfrac{Ax^2}{x^2} +\dfrac{Bx}{x^2} +\dfrac{C}{x^2}) })[/tex]

Cálculos auxiliares no numerador

[tex]\lim_{x \to \infty} (\dfrac{ax^2}{x^2}) = \lim_{x \to \infty} (a)=a[/tex]

[tex]\lim_{x \to \infty} ( \dfrac{bx}{x^2}) = \lim_{x \to \infty} (\dfrac{b*x^1}{x^2}) = \lim_{x \to \infty} (\dfrac{b}{x})=0[/tex]

Conforme o x vai tomando valores cada vez maiores, e sendo "b" um valor constante, esse limite vai ser zero

Exemplo b = 5

[tex]\dfrac{5}{10}=0,5[/tex]                [tex]\dfrac{5}{100}=0,05[/tex]                [tex]\dfrac{5}{10000000} =0,0000005[/tex]

Cada vez valores mais pequenos, aproximando-se do zero

[tex]\lim_{x \to \infty} \dfrac{c }{x^2}=0[/tex]

Por c ser uma constante e o valor de x ir para + infinito, a fração tende para zero

Cálculos auxiliares no denominador

Semelhantes cálculos seriam feitos no denominador, mas são repetitivos

dos raciocínio aqui atrás.

Ao aplicar os limites a cada destas seis parcelas chegamos a que:

[tex]\lim_{x \to \infty} = \lim_{x \to \infty}( \dfrac{a}{A} )=\dfrac{a}{A}[/tex]

Logo D)

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Observação 1 → Divisão de potências com a mesma base

Porque divisão de potências com a mesma base , mantém-se a base e

subtraem-se os expoentes, pela ordem em que aparecem.

[tex]\dfrac{x^1}{x^2} =x^{1-2} =x^{-1}=(\dfrac{x}{1}) ^{-1} =(\dfrac{1}{x} )^1=\dfrac{1}{x}[/tex]

Observação  2 → Mudança de sinal no expoente de um potência

Primeiro inverte-se o valor na base da potência, depois muda-se o

sinal ao expoente.

Exemplo:

[tex]x^{-1}=(\dfrac{x}{1}) ^{-1} =(\dfrac{1}{x} )^1[/tex]

Bons estudos.

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( * ) multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.

Resposta:

D)

Explicação passo a passo: