Considere a seguinte equação de segundo grau: Ax² + Bx - 6 = 0 Sabe-se que essa equação tem uma de .... Pergunta de ideia deDanielSantin

January 2020 1 194 Report

Considere a seguinte equação de segundo grau:

Ax² + Bx - 6 = 0

Sabe-se que essa equação tem uma de suas raizes igual a razão entre o menor e a maior raiz da seguinte equação:

x² + x - 6 = 0

e a outra raiz é 1

Qual o valor de A e de B?

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superaks

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Olá Daniel.

Vamos achar primeiro as raízes da equação.

$\mathsf{x^2+x-6=0}\\\\\\\mathsf{\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-6)}\\\mathsf{\Delta=1+24}\\\mathsf{\Delta=25}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2\cdot1}}\\\\\\\mathsf{x^+=\dfrac{-1+5}{2}\qquad\qquad\qquad\qquad x^-=\dfrac{-1-5}{2}}\\\\\\\mathsf{x^+=\dfrac{4}{2}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad~ x^-=\dfrac{-6}{2}}\\\\\\\boxed{\mathsf{x^+=2}}\qquad\qquad\qquad\qquad\quad~~\boxed{\mathsf{x^-=-3}}$

Portanto uma das raízes será:

$\mathsf{r_1=-\dfrac{3}{2}}$

Usando a forma fatorada de uma equação do segundo grau para encontrar o formato da equação:

$\mathsf{a\cdot(x-r)\cdot(x-r')}\\\\\mathsf{a\cdot(x-1)\cdot[x-\Big(-\dfrac{3}{2}\Big)]}\\\\\mathsf{a\cdot(x-1)\cdot[x+\dfrac{3}{2}]}\\\\\mathsf{a\cdot(x^2+\dfrac{3x}{2}-x-\dfrac{3}{2})}\\\\\mathsf{a\cdot(x^2+\dfrac{3x}{2}-\dfrac{2x}{2}-\dfrac{3}{2})}\\\\\mathsf{a\cdot(x^2+\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{2})}$

Para achar o valor de a, basta comparar os termos independentes das duas equações.

$\mathsf{a\cdot \Big(-\dfrac{3}{2}\Big)=-6}\\\\\mathsf{a=-6\cdot\Big(-\dfrac{2}{3}\Big)}\\\\\mathsf{a=2\cdot2}\\\\\mathsf{a=4}\\\\\\\\\mathsf{4\cdot(x^2+\dfrac{x}{2}-\dfrac{3}{2})}\\\\\mathsf{4x^2+2x-6}$

Portanto A vale 4 e B vale 2.

Dúvidas? comente.

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DanielSantin Foi uma pergunta criada por mim, na minha cabeça quem resolvesse iria descobrir as raizes e depois substituir a primera por X na equação e a segunda também, formando duas equações e resolvendo por sistema, achei interessante o seu método :3