Considere três circunferências
Γ
1
,
Γ
2
e
Γ
3
de centros
O
1
,
O
2
e
O
3
, respectivamente. As circunferência
Γ
1
e
Γ
2
se tangenciam externamente e tangenciam
Γ
3
internamente. O ponto
O
3
está sobre
Γ
2
. Sabe-se que a circunferência
Γ
1
possui raio
6
e a circunferência
Γ
2
possui raio
12
. A área do triângulo
O
1
O
2
O
3
pode ser escrita como
m
√
n
onde
m
e
n
são inteiros positivos e não existe um quadrado perfeito que divida
n
. Determine
m
+
n
.Considere três circunferências
Γ
1
,
Γ
2
e
Γ
3
de centros
O
1
,
O
2
e
O
3
, respectivamente. As circunferência
Γ
1
e
Γ
2
se tangenciam externamente e tangenciam
Γ
3
internamente. O ponto
O
3
está sobre
Γ
2
. Sabe-se que a circunferência
Γ
1
possui raio
6
e a circunferência
Γ
2
possui raio
12
. A área do triângulo
O
1
O
2
O
3
pode ser escrita como
m
√
n
onde
m
e
n
são inteiros positivos e não existe um quadrado perfeito que divida
n
. Determine
m
+
n
.
Γ
1
,
Γ
2
e
Γ
3
de centros
O
1
,
O
2
e
O
3
, respectivamente. As circunferência
Γ
1
e
Γ
2
se tangenciam externamente e tangenciam
Γ
3
internamente. O ponto
O
3
está sobre
Γ
2
. Sabe-se que a circunferência
Γ
1
possui raio
6
e a circunferência
Γ
2
possui raio
12
. A área do triângulo
O
1
O
2
O
3
pode ser escrita como
m
√
n
onde
m
e
n
são inteiros positivos e não existe um quadrado perfeito que divida
n
. Determine
m
+
n
.Considere três circunferências
Γ
1
,
Γ
2
e
Γ
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de centros
O
1
,
O
2
e
O
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, respectivamente. As circunferência
Γ
1
e
Γ
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se tangenciam externamente e tangenciam
Γ
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internamente. O ponto
O
3
está sobre
Γ
2
. Sabe-se que a circunferência
Γ
1
possui raio
6
e a circunferência
Γ
2
possui raio
12
. A área do triângulo
O
1
O
2
O
3
pode ser escrita como
m
√
n
onde
m
e
n
são inteiros positivos e não existe um quadrado perfeito que divida
n
. Determine
m
+
n
.
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Pelas informações do enunciado, fazemos o desenho das três circunferências.
Como podemos ver, as circunferências Γ1 e Γ2 estão dentro da circunferência Γ3, pois tangenciam Γ3 internamente.
A distância entre os ponto O₁ e O₂ é a soma dos raios de Γ1 e Γ2.
Assim, 7 + 14 = 21.
Como essas circunferências se tangenciam externamente, e O₃ toca a circunferência Γ2, a distância de O₁ e O₃ também mede 21.
Logo, o triângulo formado será isósceles (conforme a figura).
A altura h dividirá a base em duas partes iguais. Assim, usando o teorema de Pitágoras, temos:
h² + 7² = 21²
h² + 49 = 441
h² = 441 - 49
h² = 392
h = √391
h = 14√2
A área do triângulo é:
A = b·h/2
A = 14·(14√2)/2
A = 7·14√2
A = 98√2
Portanto, m = 98 e n = √2.
A soma é:
m + n = 98 + √2