Considere um triângulo equilátero T1 de lado 12 e a sequência infinita de triângulos T1,T2,T3 em que cada triângulo é obtido unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo anterior. A soma das áreas de todos os triângulos da sequência está corretamente registrada em:
a) 36 raiz de 3
b) 48 raiz de 3
c) 723 raiz de 3
d) 96 raiz de 3
a) 36 raiz de 3
b) 48 raiz de 3
c) 723 raiz de 3
d) 96 raiz de 3
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Como sabemos que num triângulo equilátero a altura coincide com o ponto médio do lado oposto do vértice, temos ⇒ base ΔBCM = L/2
Aplicando pitágoras ao ΔBCM, descobriremos a altura h.
L² = h² + (L/2)²
h = L√3/2, como L = 12
h = 6√3 (altura do triângulo maior)
daí ⇒ h/2 = L√3/4 ,
h/2 = 3√3 (altura do triângulo menor)
Aplicando Pitágoras ao Δ menor descobriremos o valor de x.
(L/2)² = (h/2)² + x²
L²/4 = (L√3/4)² + x²
x = L/4
daí ⇒ x + x = L/2 (base do triângulo menor)
como L =12, base = 6
Com esses dados podemos descobrir as áreas A₁ e A₂ dos Δs maior e menor, respectivamente.
A₁ = b.h/2 = 12(6√3)/2 = 36√3
A₁ = 36√3
A₂ = b´.h´/2 = 6(3√3)/2 = 9√3
A₂ = 9√3
As áreas dos infinitos Δ formam uma PG:
PG (36√3, 9√3, ...), com n →+∞ , n = número de termos
e cuja razão ⇒ q = 1/4
Aplicando o limite da soma de uma PG, descobriremos a soma das áreas da sequência de Δs.
Daí:
lim Sn = a₁/ 1 - q , com 0 < q < 1
(n→+∞)
logo ⇒ lim Sn = 36√3/ 1 - 1/4 = 36√3 / 3/4 = 48√3
(n→+∞)
lim Sn = 48√3
(n→+∞)
resposta b