Dados dois polígonos com n e n + 7 lados calcule n sabendo que um polígono tem 105 diagonais a mais que o outro
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BlackShot
May 2020 | 0 Respostas
(ENEM) Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de uma circunferência de raio R é igual a 2R, onde = 3.R.: aproximadamente 7,2 metros.IMAGEM:
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Em um polígono convexo (fechado) a relação entre o número de diagonais (D) e o número de lados é dada por:D₁ = n(n – 3)/2
Temos, então, dois polígonos, um com n lados e outro com n + 7 lados.
A fórmula para o polígono de (n + 7) lados fica:
D₂ = (n + 7).(n + 7 - 3)/2
D₂ = (n + 7)(n + 4)/2
O polígono que tem mais lados tem mais diagonais, então o polígono que tem n + 7 lados é o que tem 105 diagonais a mais que o que tem n lados.
Isso equivale a dizer que: D₂ = D₁ + 105
(n + 7)(n + 4)/2 = n(n-3)/2 + 105
(n + 7)(n + 4)/2 = n(n-3) + 210 / 2 ( multipliquei o 105 por 2 para ficarem todos com o mesmo denominador 2)
Como o denominador é o mesmo dos dois lados, podemos cancelá-lo.
(n + 7)(n + 4) = n(n-3) + 210
n.n + n.4 + 7.n + 7.4 = n.n - n.3 + 210
n² + 4n + 7n + 28 = n² - 3n + 210
n² + 11n + 28 = n² - 3n + 210 (vamos colocar todos os n de um lado e os números do outro)
n² + 11n - n¹ + 3n = 210 - 28
14n = 182
n = 182/14
n = 13
n = 13.
(Um dos polígonos tem 13 lados e o outro tem 20 lados (13 + 7 = 20))