Determinar o valor de a para que seja 45° o ângulo entre os vetores u = (2.1) e v = (1,a).
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BlackShot
May 2020 | 0 Respostas
(ENEM) Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de uma circunferência de raio R é igual a 2R, onde = 3.R.: aproximadamente 7,2 metros.IMAGEM:
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u.v = |u|.|v|. cosθ
u.v = (2,1).(1,a) = (2.1 + 1.a) = 2 + a
|u| = √(2²+1²) = √5
|v| = √(1²+a²) = √(1+a²)
θ = 45°= (√2)/2
2 + a = √5.√(1+a²). (√2)/2
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:
(2 + a)² = [√5.√(1+a²). (√2)/2]²
4 + 4a + a² = [5(1+a²)2]/4
4 + 4a + a² = 10(1+a²)/4
4(4 + 4a + a²) = 10 + 10a²
16 + 16a + 4a² = 10 + 10a²
16 - 10 + 16a + 4a² - 10a² = 0
6 + 16a - 6a² = 0
6a² - 16a - 6 = 0
(6a² - 16a - 6)/2 = 0/2
3a² - 8a - 3 = 0
Para calcular os valores de a, basta resolver a equação de 2° grau:
3a² - 8a - 3 = 0
Δ = (-8)² - 4.3.(-3)
Δ = 64 + 36
Δ = 100
a' = [-(-8)+√100]/6 = (8 + 10)/6 = 18/6 = 3
a'' = [-(-8)-√100]/6 = (8 - 10)/6 = -2/6 = -1/3
Assim, para a = 3 ou a = -1/3, o ângulo entre os vetores u e v é de 45°.