A Soma dos 12 termos é 474.

Uma Progressão Aritmética é caracterizada por apresentar um padrão de números, onde a sucessão deles é dada pela soma de um fator comum, chamado razão.

O termo geral de uma P.A é dado por:

[tex]a_n=a_1 +(n-1)\cdot R[/tex]

Onde n é índice do termo e R a razão.

O enunciado nos informa os três primeiros termos da P.A. São eles:

[tex]\boxed{1, 8, 15}[/tex]

Podemos usar o termo geral pra identificar o valor da Razão da P.A.

[tex]a_n = a_1 + (n-1)\cdot R\\\\\\a_2 = a_1 + ((2)-1)\cdot R\\\\\\\\\rightarrow \boxed{a_2 = 8}\\\\\rightarrow \boxed{a_1 = 1}\\\\\\\\8=1+1\cdot R\\\\R = 8-1 = 7\\\\\\\boxed{R=7}[/tex]

Determinamos, portanto, que a razão da P.A é 7.

A soma de n termos é dada pela expressão:

[tex]S=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}[/tex]

Para determinar a soma dos 12 termos, precisamos encontrar o valor do [tex]a_{12}[/tex]. Nesse caso, temos:

[tex]a_{12} = a_1 +((12)-1)\cdot 7\\\\a_{12} = 1 +11\cdot 7\\\\a_{12} = 1 +77=78\\\\\\\boxed{a_{12} = 78}[/tex]

Com isso, podemos calcular a soma:

[tex]S=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}\\\\\\S=\dfrac{12(1+78)}{2}\\\\\\S=6\cdot 79 =474 \\\\\\\boxed{S=474}[/tex]