Determine o ângulo entre os planos π1:x-z+9=0 π2:-x+y-7=0. Assinale a alternativa correta: A) 50 gr.... Pergunta de ideia delaenderdgas

July 2023 1 37 Report

Determine o ângulo entre os planos π1:x-z+9=0 π2:-x+y-7=0. Assinale a alternativa correta:
A) 50 graus
B) 40 graus
C) 20 graus
D) 60 graus
E) 30 graus

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solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o ângulo entre os referidos planos é:

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \theta = 120^{\circ}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]

Sejam os planos:

[tex]\Large\begin{cases} \pi_{1}: x - z + 9 = 0\\\pi_{2}: -x + y - 7 = 0\end{cases}[/tex]

Para calcular o ângulo entre os planos devemos, na realidade, calcular o ângulo entre os vetores normais dos respectivos planos. Então, para resolver esta questão devemos:

Recuperar os vetores normais dos planos dados:

Sabendo que a equação geral do plano é dada pela seguinte fórmula:

[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} x_{\vec{n}} x_{P} + y_{\vec{n}} y_{P} + z_{\vec{n}} z_{P} + k = 0\end{gathered}$}[/tex]

Comparando os termos da equação geral do plano com as equações dos planos dados, temos os seguintes vetores normais:

[tex]\Large\begin{cases} \vec{n}_{1} = (1, 0, -1)\\\vec{n}_{2} = (-1, 1, 0)\end{cases}[/tex]

Calcular o ângulo entre os planos:

[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\theta & = ang(\pi_{1},\,\pi_{2})\\& = ang(\vec{n}_{1},\,\vec{n}_{2})\\& = \arccos\left(\frac{\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}}{||\vec{n}_{1}||\cdot||\vec{n}_{2}||}\right)\\& = \arccos\left(\frac{(1, 0, -1)\cdot(-1, 1, 0)}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} + (-1)^{2}}\cdot\sqrt{(-1)^{1} + 1^{2} + 0^{2}}}\right)\\& = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}\right)\\& = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\\& = 120^{\circ}\end{aligned} $}[/tex]

✅ Portanto, o ângulo é:

[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \theta = 120^{\circ}\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]

Saiba mais: