Determine o menor número n tal que a soma dos quadrados de seus divisores (incluindo 1 e n) seja igu.... Pergunta de ideia deFranciscoN17

January 2020 1 98 Report

Determine o menor número n tal que a soma dos quadrados de seus divisores (incluindo 1 e n) seja igual a (n + 3)^2

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albertrieben Boa tarde Francisco

escrevi um programa em Python e encontrei

o valor de n = 287

divisores de 287

d(287) = (1, 7, 41, 287)

soma dos quadrados

S = 1² + 7² + 41² + 287²
S = 1 + 49 + 1681 + 82369 = 84100

84100 = (n + 3)²

n + 3 = 290

n = 290 - 3 = 287 o numero procurado

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resolução analitica

vamos supor que n tem 4 divisores

D(n) = (1 , a, b, ab)

seja a soma dos quadrados = (n + 3)²

1² + a² + b² + a²b² = (ab + 3)²
1² + a² + b² + a²b² = a²b² + 6ab + 9
a² + b² = 6ab + 8
b² - 6ab = -a² + 8
b² - 6ab + 9a² = 8a² + 8
(b - 3a)² = 8a² + 8
b - 3a = √(8a² + 8) b = 3a + √(8a² + 8)

b é inteiro se a = 7

b = 3*7 + √(8*7² + 8)
b = 21 + √(8*(7² + 1))
b = 21 + √400 = 21 + 20 + 41

n = a*b = 7*41 = 287

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FranciscoN17 Obrigado por encontrar a resposta. Mas gostaria que obtesse a resolução, pois essa é uma questao de prova

albertrieben editei para dar uma resolução

FranciscoN17 incrível, parabéns, me ajudou muitíssimo, sou mto grato