Resposta:

Para determinar os ângulos de um triângulo acutângulo, podemos usar as fórmulas trigonométricas e a fórmula da área do triângulo.

Sabemos que a área do triângulo é igual a 3+3 cm². Além disso, os lados do triângulo medem √2 cm, √3 cm e √(6 + √2) cm.

Vamos chamar os ângulos do triângulo de α, β e γ.

A fórmula da área do triângulo também pode ser escrita como:

Área = (lado1 * lado2 * sen(ângulo)) / 2

Substituindo os valores na fórmula, temos:

3+3 = (√2 * √3 * sen(α)) / 2

Multiplicando ambos os lados por 2 e simplificando a expressão, temos:

6 = √6 * sen(α)

Dividindo ambos os lados por √6, temos:

sen(α) = 1

Isso significa que o ângulo α é igual a 90°.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180°. Portanto, a soma dos ângulos β e γ é igual a 90°.

Agora, podemos usar a fórmula dos cossenos para determinar os ângulos β e γ.

A fórmula dos cossenos é:

c² = a² + b² - 2ab * cos(ângulo)

Vamos usar essa fórmula para determinar o ângulo β.

(√3)² = (√2)² + (√(6 + √2))² - 2 * √2 * √(6 + √2) * cos(β)

3 = 2 + (6 + √2) - 2 * √2 * √(6 + √2) * cos(β)

Simplificando a expressão, temos:

3 = 8 + √2 - 2 * √2 * √(6 + √2) * cos(β)

-5 = -2 * √2 * √(6 + √2) * cos(β)

Dividindo ambos os lados por -2 * √2 * √(6 + √2), temos:

cos(β) = 5 / (2 * √(6 + √2))

Usando uma calculadora, podemos encontrar o valor aproximado de cos(β) como:

cos(β) ≈ 0.894

Agora, podemos usar a função inversa do cosseno, o arccos (ou cos^(-1)), para determinar o ângulo β.

β = arccos(0.894)

Usando uma calculadora, podemos encontrar o valor aproximado de β como:

β ≈ 26.57°

Como a soma dos ângulos β e γ é igual a 90°, podemos determinar o ângulo γ subtraindo o ângulo β de 90°.

γ = 90° - β

γ ≈ 63.43°

Portanto, os ângulos do triângulo são aproximadamente α = 90°, β ≈ 26.57° e γ ≈ 63.43°.