Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de multiplicações de matrizes que x= [tex]\sf\dfrac{1}{2}[/tex] e y= [tex]\sf-\dfrac{1}{2}[/tex] ✅
Produto de matrizes
Sejam [tex]\sf A=(a_{ij})_{m\times n}[/tex] e [tex]\sf B=(b_{ij})_{p\times q}[/tex] duas matrizes quaisquer. O produto de A por B só existe quando n=p além disso o resultado é uma matriz [tex]\sf C=(c_{ij})_{m\times q}[/tex], isto é, o produto de A por B só tem sentido quando o número de colunas da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª matriz, sendo o resultado de A por B uma matriz C que possui a mesma quantidade de linhas de A e o mesma quantidade de colunas de B. Uma vez que isso ocorre, o produto é feito multiplicando-se as linhas da 1ª matriz pelas colunas da 2ª matriz.
Enunciado
Determine x e y de modo que [tex]\sf A\cdot B=B\cdot A[/tex] onde
Note que a matriz A possui duas colunas e a matriz B duas linhas. Então está assegurado que o produto entre estas matrizes está definido.
Vamos encontrar o produto de A por B, depois o produto de B por A e finalmente usando a definição de igualdade de matrizes encontrar os valores de x e de y
Para que a multiplicação de matrizes seja comutativa, ou seja, AB = BA temos como resposta:
[tex]x=\dfrac{1}{2},\:y=-\dfrac{1}{2}[/tex]
Multiplicação de Matrizes
Podemos provar que algo não é verdadeiro dando um contra-exemplo (a alegação é que a multiplicação de matrizes não é comutativa, então é suficiente encontrar pelo menos um exemplo onde a comutatividade falha). Portanto, uma abordagem é:
Portanto, a multiplicação de matrizes não é comutativa.
Essa definição de multiplicação de matrizes parece um tanto estranha quando alguém é exposto pela primeira vez. A razão subjacente mais profunda é que podemos representar um certo tipo de função, chamada transformação linear, com matrizes.
A multiplicação de matrizes é definida de modo que corresponda à composição da função da transformação linear. Como a composição de funções não é comutativa, também faz sentido que a multiplicação de matrizes não seja comutativa.
Porém, como o exercício exige que ela seja comutativa podemos responder:
Lista de comentários
Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de multiplicações de matrizes que x= [tex]\sf\dfrac{1}{2}[/tex] e y= [tex]\sf-\dfrac{1}{2}[/tex] ✅
Produto de matrizes
Sejam [tex]\sf A=(a_{ij})_{m\times n}[/tex] e [tex]\sf B=(b_{ij})_{p\times q}[/tex] duas matrizes quaisquer. O produto de A por B só existe quando n=p além disso o resultado é uma matriz [tex]\sf C=(c_{ij})_{m\times q}[/tex], isto é, o produto de A por B só tem sentido quando o número de colunas da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª matriz, sendo o resultado de A por B uma matriz C que possui a mesma quantidade de linhas de A e o mesma quantidade de colunas de B. Uma vez que isso ocorre, o produto é feito multiplicando-se as linhas da 1ª matriz pelas colunas da 2ª matriz.
Enunciado
Determine x e y de modo que [tex]\sf A\cdot B=B\cdot A[/tex] onde
[tex]\sf A=\begin{pmatrix}\sf1&\sf2\\\sf1&\sf0\end{pmatrix}[/tex] [tex]\sf e[/tex] [tex]\sf B=\begin{pmatrix}\sf0&\sf1\\\sf x&\sf y\end{pmatrix}[/tex]
✍️Vamos a resolução do exercício
Note que a matriz A possui duas colunas e a matriz B duas linhas. Então está assegurado que o produto entre estas matrizes está definido.
Vamos encontrar o produto de A por B, depois o produto de B por A e finalmente usando a definição de igualdade de matrizes encontrar os valores de x e de y
Cálculo do produto de A por B:
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf A\cdot B=\begin{pmatrix}\sf1&\sf2\\\sf1&\sf0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\sf0&\sf1\\\sf x&\sf y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf1\cdot0+2\cdot x&\sf1\cdot 1+2\cdot y\\\sf1\cdot0+0\cdot x&\sf1\cdot1+0\cdot y\end{pmatrix}\\\\\sf A\cdot B=\begin{pmatrix}\sf2x&\sf1+2y\\\sf0&\sf1\end{pmatrix} \end{array}}[/tex]
Cálculo do produto de B por A:
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf B\cdot A=\begin{pmatrix}\sf0&\sf1\\\sf x&\sf y\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\sf1&\sf2\\\sf1&\sf0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf0\cdot1+1\cdot1&\sf0\cdot2+1\cdot0\\\sf x\cdot1+y\cdot1&\sf x\cdot2+y\cdot0\end{pmatrix}\\\\\sf B\cdot A=\begin{pmatrix}\sf1&\sf0\\\sf x+y&\sf2x\end{pmatrix}\end{array}}[/tex]
Igualando as expressões temos:
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf A\cdot B=B\cdot A\\\sf\begin{pmatrix}\sf2x&\sf1+2y\\\sf0&\sf1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf1&\sf0\\\sf x+y&\sf2x\end{pmatrix}\end{array}}[/tex]
Pela definição de igualdade de matrizes podemos escrever:
[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf 2x=1\\\\\sf x=\dfrac{1}{2}\\\\\sf 1+2y=0\\\sf 2y=-1\\\\\sf y=-\dfrac{1}{2}\end{array}}[/tex]
Saiba mais em:
brainly.com.br/tarefa/27981170
brainly.com.br/tarefa/43112744
Para que a multiplicação de matrizes seja comutativa, ou seja, AB = BA temos como resposta:
Multiplicação de Matrizes
Podemos provar que algo não é verdadeiro dando um contra-exemplo (a alegação é que a multiplicação de matrizes não é comutativa, então é suficiente encontrar pelo menos um exemplo onde a comutatividade falha). Portanto, uma abordagem é:
[tex]\begin{pmatrix} 1 &0\\0&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &0\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &0\\0&0\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\begin{pmatrix} 1 &0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &0\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &0\\1&0\end{pmatrix}[/tex]
Portanto, a multiplicação de matrizes não é comutativa.
Essa definição de multiplicação de matrizes parece um tanto estranha quando alguém é exposto pela primeira vez. A razão subjacente mais profunda é que podemos representar um certo tipo de função, chamada transformação linear, com matrizes.
A multiplicação de matrizes é definida de modo que corresponda à composição da função da transformação linear. Como a composição de funções não é comutativa, também faz sentido que a multiplicação de matrizes não seja comutativa.
Porém, como o exercício exige que ela seja comutativa podemos responder:
[tex]\begin{pmatrix}1&2\\ \:1&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0&1\\ \:x&y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\ \:\:x&y\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&2\\ \:\:1&0\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}2x&1+2y\\ 0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ x+y&2x\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\mathrm{Para\:ter}\:A=B\:\:a_{ij}\:=\:b_{ij}\:\mathrm{para\:todo}\:ij[/tex]
[tex]x=\dfrac{1}{2},\:y=-\dfrac{1}{2}[/tex]
Saiba mais sobre Multiplicação de Matrizes: https://brainly.com.br/tarefa/29592643
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