Com os cálculos realizados chegamos a conclusão que o novo valor desse produto foi de R$ 130,41 e a taxa percentual foi de i = 30,41%

Aumentos e descontos:

Na comparação de dois valores diferentes de uma mesma grandeza  f > 1 aumento ( ou acréscimo de valor )  e f < 1 desconto ( ou perda de valor )

• Se f > 1, f = 1 + i
• Se f < 1, f = 1 - i
• Se f = 1, não houve variação.

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{f = \dfrac{valor ~ novo }{valor ~ velho} } $ } }[/tex]

Aumentos e descontos sucessivos:

Basta multiplicar os valores individuais e obter o fator acumulado.

[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ f_{\sf acumulado} = f_1 \cdot f_2 \cdot f_3 \dotsi } $ } }[/tex]

Dados fornecidos pelo enunciado:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf P_0 = 100 \\ \sf i_1 = 5\% = 0{,}05 \\ \sf i_2 = 8\% = 0{,}08 \\ \sf i_3 = 15\% = 0{,}15 \\\sf P_{\sf final} = \:? \end{cases} } $ }[/tex]

Solução:

Primeira maneira:

primeiro aumento:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{P_1 = P_0 \cdot ( 1 +i) } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{P_1 = 100 \cdot ( 1 + 0{,}05) } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{P_1 = 100 \cdot ( 1{,}05) } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf P_1 = 105{,}00 }[/tex]

Segundo aumento;

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{P_2 = P_1 \cdot ( 1 +i) } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{P_2 = 105 \cdot ( 1 + 0{,}08) } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{P_2 = 105 \cdot ( 1{,}08) } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf P_2 = 113{,}40 }[/tex]

Terceiro aumento:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{P_3 = P_2 \cdot ( 1 +i) } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{P_3 = 113{,}40 \cdot ( 1 +0{,}15) } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{P_3 = 113{,}40 \cdot ( 1{,}15) } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf P_3 = 130{,}41 }[/tex]

O preço final = R$ 130,41

Segunda maneira:

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f_1 = 1 + 0{,}05 = 1{,}05 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f2 = 1 + 0{,}08 = 1{,}08 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f_3 = 1 + 0{,}15 = 1{,}15 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f_{\sf acumulado} = f_1 \cdot f_2 \cdot f_3 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f_{\sf acumulado} = 1{,}05 \cdot 1{,}08 \cdot 1{,}15 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f_{\sf acumulado} = 1{,}134 \cdot 1{,}15 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f_{\sf acumulado} = 1{,}3041 } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P_{final} = P_{\sf inicial} \cdot f_{\sf acumulado} } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ P_{final} = 100\cdot 1{,}3041 } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf P_{final} = 130{,}41 }[/tex]

Logo o preço final foi de R$ 130,41.

Para saber a taxa percentual de aumento sucessivo, basta substituir;

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{f_{\sf acumulado} > 0, temos: } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{f_{\sf acumulado} = 1 + i } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 1{,}3041 = 1 + i } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 1{,}3041 - 1{,}0000 = i } $ }[/tex]

[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{i = 0{,}3041 } $ }[/tex]

[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf i = 30{,}41\% }[/tex]

Atenção: não é 5% + 8% +15% = 28% !!!

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