Deux nombres a et b ont 12 comme diviseur commun. On sait que leur produit est égal à 8 640. Déterminer toutes les valeurs possibles de a et b.
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Bonjour,On obtient le système suivant :
On pose a = 12a' et b = 12b'. Donc PGCD(a';b') = 1, donc a' et b' sont premiers entre eux.
Donc ab = 8640 ⇒ 12a'*12b' = 8640 ⇒ a'b' = 8640/(12*12) = 60
Donc a'b' = 60
L'ensemble des diviseurs de 60 est D(60)={-60;-30;-20;-15;-12;-10
;-6;-5;-4;-3;-2;-1;1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60}
(s'il faut une justification pour déterminer les diviseurs de 60, alors utilise la méthode de la décomposition en facteurs premiers)
Voici la liste de tous les produits, entre deux de ces diviseurs, étant égaux à 60 :
-1*(-60) ; -2*(-30) ; -3*(-20) ; -4*(-15) ; -5*(-12) ; -6*(-10) ; 6*10 ; 5*12 ; 4*15 ; 3*20 ; 2*30 ; 1*60
Or a' et b' sont premiers entre eux. Donc il nous reste les produits suivants :
-1*(-60) ; -3*(-20) ; -4*(-15) ; -5*(-12) ; 5*12 ; 4*15 ; 3*20 ; 1*60
Donc les couples (a';b') possibles sont :
(-1;-60) ; (-60;-1) ; (-3;-20) ; (-20;-3) ; (-4;-15) ; (-15;-4) ; (-5;-12) ; (-12;-5) ; (5;12) ; (12;5) ; (4;15) ; (15;4) ; (3;20) ; (20;3) ; (1;60) ; (60;1)
Or a = 12a' et b = 12b'
Donc les couples (a;b) possibles sont :
(-12;-720) ; (-720;-12) ; (-36;-240) ; (-240;-36) ; (-48;-180) ; (-180;-48) ; (-60;-144) ; (-144;-60) ; (60;144) ; (144;60) ; (48;180) ; (180;48) ; (36;240) ; (240;36) ; (12;720) ; (720;12)