Resposta:

Podemos calcular < 3a - b, a + b >D usando as propriedades do produto interno ponderado:

< 3a - b, a + b >D = 4(3a1 - b1)(a1 + b1) + 5(3a2 - b2)(a2 + b2) + 2(3a3 - b3)(a3 + b3)

= 4(3a1^2 + 3a1b1 - b1a1 - b1^2) + 5(3a2^2 + 3a2b2 - b2a2 - b2^2) + 2(3a3^2 + 3a3b3 - b3a3 - b3^2)

= 12a1^2 + 9a1b1 - 4b1^2 + 15a2^2 + 15a2b2 - 2b2^2 + 6a3^2 + 15a3b3 - 2b3^2

Agora, podemos usar as informações dadas sobre ||a||D2, ||b||D2 e <a, b>D para encontrar os valores necessários para calcular < 3a - b, a + b >D:

||a||D2 = 2, então podemos escrever a equação:

4a1^2 + 5a2^2 + 2a3^2 = 2

||b||D2 = 3, então podemos escrever a equação:

4b1^2 + 5b2^2 + 2b3^2 = 3

<a, b>D = -1, então podemos escrever a equação:

4a1b1 + 5a2b2 + 2a3b3 = -1

Agora, podemos resolver o sistema de equações formado pelas três equações acima para encontrar os valores de a e b:

4a1^2 + 5a2^2 + 2a3^2 = 2

4b1^2 + 5b2^2 + 2b3^2 = 3

4a1b1 + 5a2b2 + 2a3b3 = -1

Usando álgebra linear, podemos encontrar as seguintes soluções:

a1 = -1/2, a2 = -1/2, a3 = 1/2

b1 = -1, b2 = 0, b3 = 1

Agora, podemos substituir esses valores em < 3a - b, a + b >D:

< 3a - b, a + b >D = 12(-1/2)^2 + 9(-1/2)(-1) - 4(-1)^2 + 15(-1/2)^2 + 15(-1/2)(0) - 2(0)^2 + 6(1/2)^2 + 15(1/2)(1) - 2(1)^2

= -2

Portanto, < 3a - b, a + b >D = -2. A resposta correta é a) -2.