✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação do plano tangente à referida superfície "s: xe^y - z = 0" pelo ponto de tangência "T(2, 0, 2)" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: x + 2y - z = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os dados:
[tex]\Large\begin{cases} s: xe^{y} - z = 0\\T(2, 0, 2)\end{cases}[/tex]
Para resolver esta questão, devemos:
Verificar se o referido ponto de fato pertence à superfície. Para isso devemos substituir as coordenadas do ponto dado na equação da referida superfície e verifica se ambos os membros são iguais. Caso positivo, o ponto pertence à superfície. Caso contrário, não pertence à superfície . Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla}f(x, y, z) = \langle f_{x}(x, y, z),\:f_{y}(x,y,z),\:f_{z}(x, y, z)\rangle\end{gathered}$}[/tex]
Lista de comentários
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação do plano tangente à referida superfície "s: xe^y - z = 0" pelo ponto de tangência "T(2, 0, 2)" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: x + 2y - z = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os dados:
[tex]\Large\begin{cases} s: xe^{y} - z = 0\\T(2, 0, 2)\end{cases}[/tex]
Para resolver esta questão, devemos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2\cdot e^{0} - 2 = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2\cdot1 - 2 = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 2 - 2 = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$}[/tex]
Portanto:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} T\in\:s\end{gathered}$}[/tex]
Dessa forma podemos continuar com os cálculos.
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla}f(x, y, z) = \langle f_{x}(x, y, z),\:f_{y}(x,y,z),\:f_{z}(x, y, z)\rangle\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\,\vec{k}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = e^{y}\,\vec{i} + xe^{y}\,\vec{j} + (-1)\,\vec{k}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (e^{y},\,xe^{y},\,-1)\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, o vetor gradiente é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla}f(x, y, z) = (e^{y},\,xe^{y},\,-1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla}f(2,0,2) = (e^{0}, 2\cdot e^{0}, -1) = (1, 2, -1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore\:\:\vec{\nabla}f(2,0,2) = (1, 2, -1)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{n} = \vec{\nabla}f(2,0,2) = (1, 2, -1) \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x_{n}x + y_{n}y + z_{n}z = x_{n}x_{T} + y_{n}y_{T} + z_{n}z_{T}\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo tanto as coordenadas do ponto "T" quanto as componentes do vetor normal "n" na equação "I", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 1\cdot x + 2\cdot y + (-1)\cdot z = 1\cdot2 + 2\cdot0 + (-1)\cdot2\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x + 2y - z = 2 + 0 - 2\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x + 2y - z = 0\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a equação do plano tangente à referida superfície é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \pi: x + 2y - z = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]