2 —Encontre as coordenadas da interceptação y ,
➖a equação do eixo de simetria
➖e das coordenadas do vértice para o gráfico de
cada função:
a) f(x)=x²-8x+5
b) f(x) = 3x² - 6x + 2
c) f(x) = -2x²-8x-11
d) f(x) = 2x² + 6x +3
➖a equação do eixo de simetria
➖e das coordenadas do vértice para o gráfico de
cada função:
a) f(x)=x²-8x+5
b) f(x) = 3x² - 6x + 2
c) f(x) = -2x²-8x-11
d) f(x) = 2x² + 6x +3
More Questions From This User See All
Lista de comentários
Resposta:
─────
a) [tex]f(x)=x^2-8x+5.[/tex]
[tex](0,\,5).[/tex]
[tex]x=4.[/tex]
[tex](x_0,\,y_0)=(4,\,-11).[/tex]
─────
b) [tex]f(x)=3x^2-6x+2.[/tex]
[tex](0,\,2).[/tex]
[tex]x=1.[/tex]
[tex](x_0,\,y_0)=(1,\,-1).[/tex]
─────
c) [tex]f(x)=-2x^2-8x-11.[/tex]
[tex](0,\,-11).[/tex]
[tex]x=-2.[/tex]
[tex](x_0,\,y_0)=(-2,\,-3).[/tex]
─────
d) [tex]f(x)=2x^2+6x+3.[/tex]
[tex](0,\,3).[/tex]
[tex]x=-\,\dfrac{3}{2}.[/tex]
[tex](x_0,\,y_0)=\left(\!\!-\,\dfrac{3}{2},\,-\,\dfrac{3}{2}\right).[/tex]
─────
Função polinomial do segundo grau (ou função quadrática)
Uma função f: D ⊆ ℝ ⟶ ℝ é chamada função polinomial do segundo grau, ou função quadrática, se sua lei de formação pode ser escrita como
[tex]f(x)=ax^2+bx+c\qquad\mathrm{(i)}[/tex]
com a, b, c constantes reais e a ≠ 0.
Interseção do gráfico da função com o eixo y
O gráfico de uma função intersepta o eixo y quando a abscissa x é igual a zero.
Fazendo x = 0 na lei da função quadrática em (i), temos
[tex]f(0)=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(0)=0+0+c\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(0)=c\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]
Portanto, o ponto de interseção com o eixo y é o ponto [tex](0,\,f(0))=(0,\,c).[/tex]
Equação do eixo de simetria vertical
Uma reta vertical [tex]x=x_0[/tex] é eixo de simetria do gráfico da função, se dado um [tex]h>0[/tex] qualquer, tivermos
[tex]f(x_0-h)=f(x_0+h)\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]
Em outras palavras, dois pontos de abscissas equidistantes do eixo de simetria devem possuir imagens iguais pela função f.
Por (iii), devemos ter
[tex]\Longrightarrow\quad a(x_0-h)^2+b(x_0-h)+c=a(x_0+h)^2+b(x_0+h)+c\\\\ \Longleftrightarrow\quad a(x_0^2-2x_0h+h^2)+b(x_0-h)=a(x_0^2+2x_0h+h^2)+b(x_0+h)\\\\ \Longleftrightarrow\quad ax_0^2-2ax_0h+ah^2+bx_0-bh=ax_0^2+2ax_0h+ah^2+bx_0+bh\\\\\Longleftrightarrow\quad -2ax_0h-bh=2ax_0h+bh[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow\quad 2ax_0h+2ax_0h+bh+bh=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4ax_0h+2bh=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2h(2ax_0+b)=0[/tex]
Como h > 0, devemos ter
[tex]\Longrightarrow\quad 2ax_0+b=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad \boxed{~x_0=-\,\dfrac{b}{2a}~}\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]
Portanto, a equação do eixo de simetria é [tex]x=-\,\dfrac{b}{2a}.[/tex]
Coordenadas do vértice do gráfico
O vértice do gráfico é o ponto no qual a função assume seu valor extremo (máximo ou mínimo):
A abscissa x do vértice coincide com a abscissa do eixo de simetria:
[tex]\boxed{~x_0=-\,\dfrac{b}{2a}~}\qquad\mathrm{(v)}[/tex]
A ordenada [tex]y_0[/tex] do vértice é o valor que a função assume quando [tex]x=x_0=-\,\dfrac{b}{2a}:[/tex]
[tex]y_0=f(x_0)=f\!\left(\!\!-\,\dfrac{b}{2a}\right)\\\\ \Longleftrightarrow\quad y_0=a\!\left(\!\!-\,\dfrac{b}{2a}\right)^{\! 2}+b\!\left(\!\!-\,\dfrac{b}{2a}\right)+c\\\\ \Longleftrightarrow\quad y_0=a\cdot \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{b^2}{2a}+c[/tex]
Reduza as parcelas ao mesmo denominador comum 4a:
[tex]\Longleftrightarrow\quad y_0=a\cdot \dfrac{b^2}{4a^2}-\dfrac{2b^2}{4a}+\dfrac{4ac}{4a}\\\\ y_0=\dfrac{b^2-2b^2+4ac}{4a}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \boxed{~y_0=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}=-\,\dfrac{\Delta}{4a}~}\qquad\mathrm{(vi)}[/tex]
sendo [tex]\Delta=b^2-4ac[/tex] o discriminante da função quadrática.
Portanto, as coordenadas do vértice do gráfico da função quadrática são [tex](x_0,\,y_0)=\left(\!\!-\,\dfrac{b}{2a},\,-\,\dfrac{\Delta}{4a}\right).[/tex]
Determinando o que se pede para cada função:
─────
a) [tex]f(x)=x^2-8x+5.[/tex]
Os coeficientes são [tex]a=1,\,b=-8[/tex] e [tex]c=5.[/tex]
[tex](0,\,c)=(0,\,5).[/tex]
[tex]x=-\,\dfrac{b}{2a}\\\\ \Longrightarrow\quad x=-\,\dfrac{-8}{2\cdot 1}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \boxed{~x=4~}[/tex]
[tex]x_0=4,[/tex] pois coincide com a abscissa do eixo de simetria.
[tex]y_0=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\\\\ \Longrightarrow\quad y_0=\dfrac{-(-8)^2+4\cdot 1\cdot 5}{4\cdot 1}\\\\ \Longleftrightarrow\quad y_0=\dfrac{-64+20}{4}\\\\ \Longleftrightarrow\quad y_0=\dfrac{-44}{4}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \boxed{~y_0=-11~}[/tex]
As coordenadas do vértice são [tex](x_0,\,y_0)=(4,\,-11).[/tex]
─────
b) [tex]f(x)=3x^2-6x+2.[/tex]
Os coeficientes são [tex]a=3,\,b=-6[/tex] e [tex]c=2.[/tex]
[tex](0,\,c)=(0,\,2).[/tex]
[tex]x=-\,\dfrac{b}{2a}\\\\ \Longrightarrow\quad x=-\,\dfrac{-6}{2\cdot 3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{6}{6}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \boxed{~x=1~}[/tex]
[tex]x_0=1,[/tex] pois coincide com a abscissa do eixo de simetria.
[tex]y_0=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\\\\ \Longrightarrow\quad y_0=\dfrac{-(-6)^2+4\cdot 3\cdot 2}{4\cdot 3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad y_0=\dfrac{-36+24}{12}\\\\ \Longleftrightarrow\quad y_0=\dfrac{-12}{12}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \boxed{~y_0=-1~}[/tex]
As coordenadas do vértice são [tex](x_0,\,y_0)=(1,\,-1).[/tex]
─────
c) [tex]f(x)=-2x^2-8x-11.[/tex]
Os coeficientes são [tex]a=-2,\,b=-8[/tex] e [tex]c=-11.[/tex]
[tex](0,\,c)=(0,\,-11).[/tex]
[tex]x=-\,\dfrac{b}{2a}\\\\ \Longrightarrow\quad x=-\,\dfrac{-8}{2\cdot (-2)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{8}{-4}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \boxed{~x=-2~}[/tex]
[tex]x_0=-2,[/tex] pois coincide com a abscissa do eixo de simetria.
[tex]y_0=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\\\\ \Longrightarrow\quad y_0=\dfrac{-(-8)^2+4\cdot (-2)\cdot (-11)}{4\cdot (-2)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad y_0=\dfrac{-64+88}{-8}\\\\ \Longleftrightarrow\quad y_0=\dfrac{24}{-8}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \boxed{~y_0=-3~}[/tex]
As coordenadas do vértice são [tex](x_0,\,y_0)=(-2,\,-3).[/tex]
─────
d) [tex]f(x)=2x^2+6x+3.[/tex]
Os coeficientes são [tex]a=2,\,b=6[/tex] e [tex]c=3.[/tex]
[tex](0,\,c)=(0,\,3).[/tex]
[tex]x=-\,\dfrac{b}{2a}\\\\ \Longrightarrow\quad x=-\,\dfrac{6}{2\cdot 2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=-\,\dfrac{6}{4}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \boxed{~x=-\,\dfrac{3}{2}~}[/tex]
[tex]x_0=-\,\dfrac{3}{2},[/tex] pois coincide com a abscissa do eixo de simetria.
[tex]y_0=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\\\\ \Longrightarrow\quad y_0=\dfrac{-6^2+4\cdot 2\cdot 3}{4\cdot 2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad y_0=\dfrac{-36+24}{8}\\\\ \Longleftrightarrow\quad y_0=\dfrac{-12}{8}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \boxed{~y_0=-\,\dfrac{3}{2}~}[/tex]
As coordenadas do vértice são [tex](x_0,\,y_0)=\left(\!\!-\,\dfrac{3}{2},\,-\,\dfrac{3}{2}\right).[/tex]
Dúvidas? Comente.
Bons estudos! :-)
a) Para encontrar a interceptação y, basta substituir x por 0 na equação:
f(0) = (0)² - 8(0) + 5
f(0) = 5
Portanto, a interceptação y é (0,5).
A equação do eixo de simetria é dada por x = -b/2a, onde a e b são os coeficientes da função.
x = -(-8)/2(1)
x = 4
Então, a equação do eixo de simetria é x = 4.
As coordenadas do vértice são dadas por (-b/2a, f(-b/2a))
(-b/2a, f(-b/2a)) = (4, f(4))
Para encontrar f(4), basta substituir x por 4 na função:
f(4) = (4)² - 8(4) + 5
f(4) = -7
Portanto, as coordenadas do vértice são (4,-7).
b) Para encontrar a interceptação y, basta substituir x por 0 na equação:
f(0) = 3(0)² - 6(0) + 2
f(0) = 2
Portanto, a interceptação y é (0,2).
A equação do eixo de simetria é dada por x = -b/2a, onde a e b são os coeficientes da função.
x = -(-6)/2(3)
x = 1
Então, a equação do eixo de simetria é x = 1.
As coordenadas do vértice são dadas por (-b/2a, f(-b/2a))
(-b/2a, f(-b/2a)) = (1, f(1))
Para encontrar f(1), basta substituir x por 1 na função:
f(1) = 3(1)² - 6(1) + 2
f(1) = -1
Portanto, as coordenadas do vértice são (1,-1).
c) Para encontrar a interceptação y, basta substituir x por 0 na equação:
f(0) = -2(0)² - 8(0) - 11
f(0) = -11
Portanto, a interceptação y é (0,-11).
A equação do eixo de simetria é dada por x = -b/2a, onde a e b são os coeficientes da função.
x = -(-8)/2(-2)
x = 2
Então, a equação do eixo de simetria é x = 2.
As coordenadas do vértice são dadas por (-b/2a, f(-b/2a))
(-b/2a, f(-b/2a)) = (2, f(2))
Para encontrar f(2), basta substituir x por 2 na função:
f(2) = -2(2)² - 8(2) - 11
f(2) = -29
Portanto, as coordenadas do vértice são (2,-29).
d) Para encontrar a interceptação y, basta substituir x por 0 na equação:
f(0) = 2(0)² + 6(0) + 3
f(0) = 3
Portanto, a interceptação y é (0,3).
A equação do eixo de simetria é dada por x = -b/2a, onde a e b são os coeficientes da função.
x = -6/2(2)
x = -3/2
Então, a equação do eixo de simetria é x = -3/2.
As coordenadas do vértice são dadas por (-b/2a, f(-b/2a))
(-b/2a, f(-b/2a)) = (-3/2, f(-3/2))
Para encontrar f(-3/2), basta substituir x por -3/2 na função:
f(-3/2) = 2(-3/2)² + 6(-3/2) + 3
f(-3/2) = -3/2
Portanto, as coordenadas do vértice são (-3/2,-3/2).