EDO de primeira ordem, linear.

[tex] \frac{dy}{dx} + P(x).y + Q(x) \\ [/tex]

Associando essa equação com a fornecida:

[tex] \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} .y = 3 \cos(2x) \\ P(x) = \frac{1}{x} \: \: e \: \: Q(x) = 3 \cos(2x)[/tex]

Calculando o fator integrante:

[tex]i(x) = e {}^{ \int p(x) \: dx} \\ \\ i(x) = e {}^{ \int \frac{1}{x} dx} \: \to \: i(x) = e {}^{ \ln(x)} \: \to \: i(x) = x[/tex]

Multiplicando o fator integrante em ambos os lados:

[tex]\left( \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} .y \right).x = (3 \cos(2x)).x \\ \\ \frac{d}{dx} (y.x) = 3x \cos(2x) \: dx \\ \\ \int \frac{d}{dx} (y.x) = \int 3x. \cos(2x) \: dx\\ \\ y.x = \int 3x. \cos(2x) \: dx \\ \\ u = 3x \: \to \: \frac{du}{dx} = 3 \: \to \: du = 3dx \\ \\ dv = \cos(2x) \: \to \: \int dv = \int \cos(2x) \: dx \\ \\ v = \frac{ \sin(2x)}{2} \\ \\ \int u.dv = u.v - \int v.du \\ \\ \int 3x. \cos(2x) \: dx = 3x. \left( \frac{ \sin(2x)}{2} \right) - \int \left( \frac{ \sin(2x)}{2} \right).3dx \\ \\ \int 3x. \cos(2x) \: dx = \frac{3x. \sin(2x)}{2} - \frac{3}{2} \int \sin(2x) \: dx \\ \\ \int 3x. \cos(2x) \: dx = \frac{3x. \sin(2x)}{2} + \frac{3}{2} . \frac{ \cos(2x)}{2} \\ \\ \int 3x. \cos(2x) \: dx = \frac{3x. \sin(2x)}{2} + \frac{3. \cos(2x)}{4} + c[/tex]

[tex]y.x = \frac{3x. \sin(2x)}{2} + \frac{3. \cos(2x)}{4} + c \\ \\ y.x = \frac{12x. \sin(2x) + 6. \cos(2x)}{8} + c \\ \\ y.x = \frac{6.(2x. \sin(2x) + \cos(2x)}{8} + c \\ \\ y.x = \frac{3.(2x . \sin(2x) + \cos(2x)}{4} + c \\ \\ \boxed{ y = \frac{3.(2x. \sin(2x) + \cos(2x))}{4x} + \frac{c}{x}} [/tex]

Peio visto, a resposta é o item E).