Est ce que vous pouvez m'aider sur cette exercice s'il vous plaît merci beaucoup pour votre aide.
Dans une entreprise,un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel de gestion a été suivi par 25% du personnel. On choisit dix personnes dans l'entreprise, qui possède un effectif suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note X le nombre de personnes choisies qui ont suivi le stage.
a) Calculer la probabilité que quatre personnes au plus parmi les dix choisies aient suivi le stage.
b) Calculer la probabilité qu'au moins cinq personnes parmi les dix choisies aient suivi le stage.
Dans une entreprise,un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel de gestion a été suivi par 25% du personnel. On choisit dix personnes dans l'entreprise, qui possède un effectif suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note X le nombre de personnes choisies qui ont suivi le stage.
a) Calculer la probabilité que quatre personnes au plus parmi les dix choisies aient suivi le stage.
b) Calculer la probabilité qu'au moins cinq personnes parmi les dix choisies aient suivi le stage.
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a) Pour calculer la probabilité que quatre personnes au plus parmi les dix choisies aient suivi le stage, on va utiliser la formule du coefficient binomial.Le coefficient binomial est une formule qui permet de calculer le nombre de combinaisons possibles dans un événement qui peut prendre deux résultats possibles (réussite/échec, oui/non, etc). Dans notre cas, le nombre d'essais est égal à 10 (10 personnes choisies) et le nombre de réussites qu'on cherche à obtenir est égal à 4 (4 personnes au plus qui ont suivi le stage).
Le coefficient binomial est égal à :
C(10;4) = 10! / (4! * (10 - 4)!)
C(10;4) = 10! / (4! * 6!) = 210
On peut donc dire que le nombre de combinaisons possibles pour obtenir 4 personnes au plus qui ont suivi le stage est égal à 210.
Maintenant, pour calculer la probabilité que quatre personnes au plus parmi les dix choisies aient suivi le stage, on doit diviser le nombre de combinaisons possibles par le nombre total de combinaisons possibles.
Le nombre total de combinaisons possibles (choisir 10 personnes parmi l'effectif) est égal à :
C(n;10) = n! / (10! * (n - 10)!)
Dans notre cas, n est le nombre total de personnes dans l'effectif. Comme 25% du personnel a suivi le stage, on peut dire que n = 4*25 = 100.
C(100;10) = 100! / (10! * (100 - 10)!) = 1 027 954 576
On peut donc dire que le nombre total de combinaisons possibles pour obtenir 10 personnes parmi l'effectif est égal à 1 027 954 576.
La probabilité que quatre personnes au plus parmi les dix choisies aient suivi le stage est donc égale à 210 / 1 027 954 576 = 2,04*10^-7.
b) Pour calculer la probabilité qu'au moins cinq personnes parmi les dix choisies aient suivi le stage, on va utiliser la même formule que pour le calcul de la probabilité précédente. La seule différence est que le nombre de réussites qu'on cherche à obtenir est égal à 5 (5 personnes au moins qui ont suivi le stage).
Le coefficient binomial est donc égal à :
C(10;5) = 10! / (5! * (10 - 5)!)
C(10;5) = 10! / (5! * 5!) = 252
On peut donc dire que le nombre de combinaisons possibles pour obtenir 5 personnes au moins qui ont suivi le stage est égal à 252.
Maintenant, pour calculer la probabilité qu'au moins cinq personnes parmi les dix choisies aient suivi le stage, on doit diviser le nombre de combinaisons possibles par le nombre total de combinaisons possibles.
Comme dans le calcul précédent, le nombre total de combinaisons possibles (choisir 10 personnes parmi l'effectif) est égal à 1 027 954 576.
La probabilité qu'au moins cinq personnes parmi les dix choisies aient suivi le stage est donc égale à 252 / 1 027 954 576 = 2,45*10^-6.