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Resposta:

n = 10

Explicação passo a passo:

Trata-se de uma questão de lógica matemática, por isso é resolvida por deduções e não por cálculo direto.

n! = 7.5^2.3^4.2^8 ( o símbolo ^ significa elevado a)

7.5^2.3^4.2^8 pode ser escrito assim:

7 . 5 . 5 . 3 . 3 . 3 . 3 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 1

Sabemos que os fatoriais são produtos que se iniciam em um valor e terminam em ... ... ... 3 . 2 . 1

Começando de trás para frente ou do menor para o maior, podemos escrever a multiplicação desenvolvida acima como:

1

2 (eliminamos o 1º 2)

3 (eliminamos o 1º 3)

4 (eliminamos o 2º e o 3º 2)

5 (eliminamos o 1º 5)

6 (eliminamos o 4º 2 e o 2º 3)

7 (eliminamos o único 7)

8 (eliminamos o 5º, o 6º e o 7º 2)

9 (eliminamos o 3º e o 4º 3)

10 (eliminamos o 8º 2 e o 2º 5)

Ora, 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 10!

Assim

n! = 10!

ou n = 10