A fatoração completa desses polinômios é:

• a) (x - 2)·(x + 6)
• b) (x + 6)·(x - 2)·(x + 6)
• c) x·(x - 2)·(x + 6)

a) x² + 4x - 12

Como tem formato de equação do 2º grau na forma x² + Sx + P, significa que a soma das raízes (S) é 4 e o produto das raízes (P) é -12.

a + b = 4

a·b = 12

Esses números são -2 e 6, pois

-2 + 6 = 4

(-2)·6 = -12

Portanto, a fatoração é (x - 2)·(x + 6).

b) Como é um polinômio do 3º grau, sua forma fatorada é:

(x + a)·(x + b)·(x + c), sendo a, b e c as raízes.

Uma das raízes é 6. Logo:

(x + 6)·(x + b)·(x + c) =

(x + 6)·(x² + bx + cx + bc) =

x³ + bx² + cx² + bcx + 6x² + 6bx + 6cx + 6bc =

x³ + bx² + cx² + 6x² + bcx + 6bx + 6cx + 6bc =

x³ + (b + c + 6)x² + (bc + 6b + 6c)x + 6bc

Logo:

x³ + (b + c + 6)x² + (bc + 6b + 6c)x + 6bc = x³ + 10x² + 16x - 72

Os coeficientes dos termos semelhantes devem ser iguais. Logo:

• (b + c + 6) = 10 → b + c = 10 - 6 → b + c = 4
• (6bc) = -72 → bc = -72/6 → bc = -12

Quais os números cuja soma é 4 e o produto é -12?

São -2 e 6.

Portanto, a forma fatorada é:

(x + 6)·(x - 2)·(x + 6)

c) x³ + 4x² - 12x

Colocando o fator comum em evidência, temos:

x·(x² + 4x - 12)

Conforme já vimos no item A, x² + 4x - 12 = (x - 2)·(x + 6). Logo:

x·(x² + 4x - 12) = x·(x - 2)·(x + 6)

#SPJ1