Soit T l’application du plan qui envoie le point M d’affixe z sur le point M' d’affixe
f(z) = (1 + i)z + 1. On note A le point d’affixe zA = 1 − i et A' l’image de A par T.
1)Résoudre l’équation f(z) = z. En déduire que T a un unique point fixe, noté F.
2) Montrer que le cercle de centre C et de rayon R est l’ensemble des points d’affixes dans {
} où c est l'affixe du point C
3) Déterminer l’image par T du cercle de centre A et de rayon √2
4) Calculer FM'/FM et l'angle (
). En déduire la nature de T
f(z) = (1 + i)z + 1. On note A le point d’affixe zA = 1 − i et A' l’image de A par T.
1)Résoudre l’équation f(z) = z. En déduire que T a un unique point fixe, noté F.
2) Montrer que le cercle de centre C et de rayon R est l’ensemble des points d’affixes dans {
3) Déterminer l’image par T du cercle de centre A et de rayon √2
4) Calculer FM'/FM et l'angle (
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T : la transformation de z par la fonction f(z) = (1+i) z + 1.
L'image du M(x,y) par T ou l'image de l'affixe Z par f:
z' = zM' = f(z) = (1+i) (x+ iy) + 1 = (x -y+1) + i (x+y)
| zM' | = √[ (x-y+1)²+(x+y)² ] = √[2x²+2y²+2x-2y+1] =√ [2(x+1/2)²+2(y-1/2)² ]
L'image du M par T : M' = [ x-y+1, x+y ]
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le point A :
zA = 1 - i. A = (1, -1) L'image A' du A par T : [ 1-1+1, 1-1 ] = [1. 0 ]
A' = (1, 0) et zA' = 1
==================================
1) le point F :
f (z) = z = > (1 + i) z + 1 = z => z + i z + 1 = z
i z + 1 = 0 , multiplier par i : => - z + i = 0 => z = i
F = 0 + 1 i ou (0, 1) -- L'image du F par T est lui meme.
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2) l'equation du cercle du Centre C = (Xc, Yc) et de Rayon R est
(x-Xc)² + (y-Yc)² = R² => cette equation est l'ensemble des points sur le cercle.
C = (Xc , Yc) de l'affixe c = zC = Xc + i Yc
soit zH = c + R e^{it} = Xc + i Yc + R [ Cos t + i Sin t ]
= (Xc+R Cos t)+ i (Yc + R Sin t)
H = [ Xc+R Cos t , Yc+R Sin t] = [x1 , y1]
Ici la parametre est "t". Eliminer le.
(x1 - Xc)² + (y1 - Yc)² = R² Cos² t + R² Sin² t = R²
le point H est sur le cercle de centre (Xc, Yc) et de rayon R.
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3)
A = (1, -1) zA = 1 - i , l'image par T: A' =(1,0) , zA' = 1
l'ensemble des points sur le cercle de centre A et de rayon √2 est:
H = { zA + √2 e^{it} } ou H = [ 1+√2 Cos t, -1+√2 Sin t ]
H' = l'image par T du H: [1+√2Cos t - (-1+√2 Sin t) + 1, 1+√2 Cos t -1+√2 Sin t ]
H' = [ 3 + √2 (Cos t - Sin t), √2(Cos t + Sin t) ]
zH' = [3+√2(Cos t - Sin t)] + i √2(Cos t + SIn t)
Soit H' = (x', y') et zH' = x' + i y'
(x' - 3)² + (y' - 0)² = 2 (Cos t - Sin t)² + 2 (Cos t + Sin t)² = 4 = 2²
Donc, c'est le cercle de centre (3, 0) d'affixe (3+0i) et le rayon 2.
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4)
F = (0, 1), zF = 0+1 i , M = (x,y) et zM = x+i y
M' = (x-y+1, x+y) , zM' = (x-y+1) + i (x+y)