(FUVEST) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomín.... Pergunta de ideia deOpedidor

November 2019 1 67 Report

(FUVEST) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos?

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$C_{(n,p)} \ = \ \dfrac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!} \ \Rightarrow \\
\\
\\
C_{(n,p)} \ \rightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos \ em \ p \ espa\c{c}os; \\
\text{} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (permuta\c{c}\~oes \ internas \ desconsideradas \ por \ p!) \\
\\
\\
P_{(n)} \ = \ n! \ \Rightarrow \\
\\
P_{(n)} \ = \ Permuta\c{c}\~oes \ de \ n \ elementos \ n\~ao \ repetidos.$

$Temos \ 4 \ empresas \ para \ 3 \ trabalhos \ \dots \ Logicamente \ que, \ para \ que \\
todas \ recebam \ trabalhos, \ uma \ delas \ receber\'a \ 2 \ trabalhos. \\
\\
Ent\~ao, \ vamos \ come\c{c}ar \ escolhendo, \ por \ combina\c{c}\~ao \ mesmo, \\ p \ = \ 1 \ empresa \ de \ n \ = \ 3 \ contratadas \ para \ receber \\
estes \ 2 \ trabalhos; \\
Al\'em \ disso, \ vamos \ nos \ atentar \ aos \ trabalhos \ recebidos \ por \\
esta \ empresa \ que \ se \ encarregar\'a \ de \ 2 \ trabalhos \ :$ $\ dos \ n \ = \ 4 \ trabalhos, \ escolheremos \ p \ = \ 2 \ (combina\c{c}\~ao, \ a \ ordem \\
dos \ trabalhos \ escolhidos \ n\~ao \ importa) \ para \ esta \ empresa \ que \ far\'a \\ 
2 \ trabalhos. \\
Note \ que \ sobraram \ 2 \ trabalhos \ para \ 2 \ empresas, \ certo?! \ Vamos \\
simplesmente \ permutar \ esses \ 2 \ trabalhos \ restantes \ entre \ as \\
duas \ empresas \ restantes. \\
Pronto, \ temos \ o \ seguinte \ panorama \ \Rrightarrow$

$\underbrace{\overbrace{C_{(3,1)}}^{escolha \ da \ empresa} \ \overbrace{\cdot}^{e} \ \overbrace{C_{(4,2)}}^{2 \ trabalhos}}_{para \ a \ empresa \ com \ 2 \ trabalhos} \ \underbrace{\cdot}_{e} \ \underbrace{P_{(2)}}_{2 \ trabalhos \ e \ empresas \ restantes} \ : \\
\\
\\
\dfrac{3!}{2! \ \cdot \ 1!} \ \cdot \ \dfrac{4!}{2! \ \cdot \ \not{2!}} \ \cdot \ \not{2!} \ \rightarrow \\
\\
\\
\dfrac{3 \ \cdot \ \not{2!}}{\not{2!}} \ \cdot \ \dfrac{4 \ \cdot \ 3 \ \cdot \ \not{2!}}{\not{2!}} \ \rightarrow$

$3 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ 3 \ = \\
\\
\\
\boxed{\boxed{36 \ formas \ de \ escolhermos \ os \ trabalhos \ para \ as \ empresas!}}$

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