Réponse :

bonjour, le tarif des matériaux pour les bases et la surface latérale  étant le même au m²(400€/m²) le prix de revient P(a) est minimal quand l'aire est minimale.

Explications étape par étape :

Soit A(a) l'aire totale de la boîte

A(a)=Aire des deux bases (2a²)  +aire latérale (4a*h)

mais la hauteur V/aire de la base=27/a²

ce qui nous donne

A(a)=2a²+4a*27/a² =2a²+108/a=(2a³+108)/a (avec a >0)

Etudions la fonction A(a) sur ]0;+oo[

Dérivée A'(a)=[6a³-2a³-108)/a²= (4a³-108)/a²

A(a)=0 si 4a³=108 soit a³=27  ; solution a=3

Tableau de signes de la dérivée et de variations de la fonction

a       0                                    3                           +oo

A'(a  )II           -                         0            +                

A(a)   II+oo       Décroi           A(3)     Croi          +oo

L'aire est donc minimale  pour a=3dm dans ce cas h=27/3²=3dm

la boîte est un cube de 3dm d'arête  Aire minimale =A(3)=6*9=54dm²

Le prix de revient

 sachant que  400€/m² = 4€/dm²

P(3)=3*54=162€  

Si tu étudies directement la fonction P(a)

P(a)=4*A(a) le résultat sera le même mais tu vas calculer  avec des nombres plus importants