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Réponse :

Explications étape par étape

x√x    est   positif    sur  [ 0; 3 ]  

3/2x   -1/2     est    négatif    sur   [ 0; 1/3 ]   et  positif   sur  [ 1/3 ; 3 ]  

donc

sur   [ 0 ; 1/3 ]     x√x  ≥  3/2x   -1/2  

sur   [ 1/3 ; 3]    on peut alors comparer leurs carrés

(x√x )² =  x²*x  

(3/2x   -1/2  )²  =  9/4  x²  -  3/2x    +  1/4  

la différence des deux carrés  est une fonction  

f(x)=    x²*x    -  (  9/4  x²  -  3/2x    +  1/4   )  

f(1/3)=  1/9 *1/3  - (  9/4 *  1/9  - 3/2 *1/3  +  1/4)=   1/27

f(3)=  3²*3 -( 9/4*9   - 3/2*3    + 1/4)=    11

la dérivée  de f(x)   est  

f '(x) = 3x²  -(  9/2x   - 3/2)   =  3x²  - 9/2 x  + 3/2  

f'(x) =  3/2( 2x²  - 3x   +  1)    = 3/2( x-1)  (2x  - 1)

cette dérivée  a le signe  

positif  sur  [ 1/3;  1/2 ]     et sur   [ 1;3 ]  

négatif   sur   [  1/2  ;  1 ]  

f(1/3 ) = 1/27      

f(1)=   1²*1    -  (  9/4 * 1²  -  3/2   +  1/4   )   =  0

le minimum de f(x) est  donc   0  

f(x) est toujours  positive  

conclusion    la différence des carrés est positive

x√x  ≥  3/2x   -1/2